ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.17

**1) Построение графика функции $y = x^2 - 1$** Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$). 1. Вершина параболы: $$x_0 = 0, \quad y_0 = 0^2 - 1 = -1$$ Точка вершины — $(0; -1)$. 2. Точки пересечения с осями координат: - с осью $Oy$ ($x = 0$): $(0; -1)$; - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Точки: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$. 3. Таблица дополнительных значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $y$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | График получается сдвигом стандартной параболы $y = x^2$ вдоль оси ординат на $1$ единицу вниз. --- **2) Построение графика уравнения $|y| = x^2 - 1$** 1. Так как модуль числа всегда неотрицателен ($|y| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $$x^2 - 1 \ge 0 \implies (x - 1)(x + 1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$$ При $-1 < x < 1$ график не существует. 2. Раскрываем модуль переменной $y$: $$y = x^2 - 1 \quad \text{или} \quad y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$$ 3. Описание графика: График состоит из двух частей парабол при $|x| \ge 1$: - верхней: $y = x^2 - 1$ при $x \le -1$ и $x \ge 1$; - нижней: $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ при $x \le -1$ и $x \ge 1$. График симметричен относительно оси $Ox$ и оси $Oy$. 4. Опорные точки: - при $x = \pm 1$: $y = 0$; - при $x = \pm 2$: $|y| = 2^2 - 1 = 3 \implies y = \pm 3$; - при $x = \pm 3$: $|y| = 3^2 - 1 = 8 \implies y = \pm 8$. --- **3) Построение графика уравнения $|y| = |x^2 - 1|$** 1. Так как $|x^2 - 1| \ge 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$, уравнение определено для всех действительных значений $x$. 2. Раскрываем модуль переменной $y$: $$y = |x^2 - 1| \quad \text{или} \quad y = -|x^2 - 1|$$ 3. График является объединением двух линий: - График $y = |x^2 - 1|$ получается из параболы $y = x^2 - 1$ отражением её отрицательной части (между $x = -1$ и $x = 1$) зеркально вверх относительно оси $Ox$. Вершина этой части переходит в точку $(0; 1)$. - График $y = -|x^2 - 1|$ является зеркальным отражением графика $y = |x^2 - 1|$ относительно оси $Ox$. 4. Поведение по промежуткам: - Если $|x| \ge 1$ (то есть $x \le -1$ или $x \ge 1$), то $x^2 - 1 \ge 0$, следовательно: $$y = \pm (x^2 - 1)$$ - Если $|x| < 1$ (то есть $-1 < x < 1$), то $x^2 - 1 < 0$, следовательно: $$y = \pm (1 - x^2)$$ 5. Опорные точки: - при $x = 0$: $y = \pm 1$; - при $x = \pm 1$: $y = 0$; - при $x = \pm 2$: $y = \pm 3$. Линия образует замкнутую фигуру (петлю) на отрезке $[-1; 1]$ с вершинами в $(0; 1)$ и $(0; -1)$, переходящую при $|x| \ge 1$ в расходящиеся ветви парабол. График симметричен относительно обеих осей координат и начала координат.