ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.15

**1)** Дано уравнение: $$ x^2 + y^2 - 3x - 3y + 2 = 0 $$ Выделим полные квадраты по переменным $x$ и $y$: $$ \left(x^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + \left(y^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}y + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + 2 = 0 $$ $$ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + 2 = 0 $$ $$ \left(x - 1{,}5\right)^2 + \left(y - 1{,}5\right)^2 = \frac{5}{2} $$ $$ (x - 1{,}5)^2 + (y - 1{,}5)^2 = 2{,}5 $$ Это уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. **Ответ:** Графиком является окружность с центром в точке $(1{,}5; 1{,}5)$ и радиусом $R = \sqrt{2{,}5} = \frac{\sqrt{10}}{2}$. --- **2)** Дано уравнение: $$ |x^2 + y^2 - 3x - 3y + 4{,}5| = 2{,}5 $$ По определению модуля уравнение распадается на два случая: $$ x^2 + y^2 - 3x - 3y + 4{,}5 = 2{,}5 \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 - 3x - 3y + 4{,}5 = -2{,}5 $$ Преобразуем первое уравнение: $$ x^2 + y^2 - 3x - 3y + 2 = 0 $$ Выделив полные квадраты (как в пункте 1): $$ (x - 1{,}5)^2 + (y - 1{,}5)^2 = 2{,}5 $$ Это окружность с центром $(1{,}5; 1{,}5)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{2{,}5}$. Преобразуем второе уравнение: $$ x^2 + y^2 - 3x - 3y + 7 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (x - 1{,}5)^2 - 2{,}25 + (y - 1{,}5)^2 - 2{,}25 + 7 = 0 $$ $$ (x - 1{,}5)^2 + (y - 1{,}5)^2 + 2{,}5 = 0 $$ $$ (x - 1{,}5)^2 + (y - 1{,}5)^2 = -2{,}5 $$ Так как сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной, это уравнение не имеет действительных решений. **Ответ:** Графиком является окружность с центром в точке $(1{,}5; 1{,}5)$ и радиусом $R = \sqrt{2{,}5}$. --- **3)** Дано уравнение: $$ x^2 + y^2 - 3|x| - 3|y| + 2 = 0 $$ Так как $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$, уравнение принимает вид: $$ |x|^2 - 3|x| + |y|^2 - 3|y| + 2 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (|x| - 1{,}5)^2 + (|y| - 1{,}5)^2 = 2{,}5 $$ График симметричен относительно координатных осей $Ox$ и $Oy$, а также относительно начала координат. В I координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): $$ (x - 1{,}5)^2 + (y - 1{,}5)^2 = 2{,}5 $$ Радиус окружности $R = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58 > 1{,}5$. Центр находится в точке $(1{,}5; 1{,}5)$, следовательно, окружность пересекает положительные полуоси координат в точках: при $y = 0$: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 2$; при $x = 0$: $y^2 - 3y + 2 = 0 \implies y_1 = 1, y_2 = 2$. В первой четверти расположена часть окружности (дуга, не выходящая за пределы четверти, плюс точки пересечения с осями). Остальные части графика получаются симметричным отражением этой дуги в остальные три четверти: - во II четверти ($x \le 0, y \ge 0$): дуга окружности $(x + 1{,}5)^2 + (y - 1{,}5)^2 = 2{,}5$; - в III четверти ($x \le 0, y \le 0$): дуга окружности $(x + 1{,}5)^2 + (y + 1{,}5)^2 = 2{,}5$; - в IV четверти ($x \ge 0, y \le 0$): дуга окружности $(x - 1{,}5)^2 + (y + 1{,}5)^2 = 2{,}5$. **Ответ:** График состоит из четырёх дуг окружностей радиуса $R = \sqrt{2{,}5}$ с центрами в точках $(\pm 1{,}5; \pm 1{,}5)$, расположенных в соответствующих координатных четвертях и симметричных относительно осей координат. --- **4)** Дано уравнение: $$ |x^2 + y^2 - 3|x| - 3|y| + 4{,}5| = 2{,}5 $$ Раскрываем внешний модуль: $$ x^2 + y^2 - 3|x| - 3|y| + 4{,}5 = 2{,}5 \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 - 3|x| - 3|y| + 4{,}5 = -2{,}5 $$ 1) Первое уравнение: $$ x^2 + y^2 - 3|x| - 3|y| + 2 = 0 $$ Это в точности уравнение из пункта 3: $$ (|x| - 1{,}5)^2 + (|y| - 1{,}5)^2 = 2{,}5 $$ 2) Второе уравнение: $$ x^2 + y^2 - 3|x| - 3|y| + 7 = 0 $$ $$ (|x| - 1{,}5)^2 + (|y| - 1{,}5)^2 = -2{,}5 $$ Данное уравнение не имеет действительных решений. Таким образом, множество решений совпадает с множеством решений уравнения из пункта 3. **Ответ:** График совпадает с графиком уравнения из пункта 3 и представляет собой четыре дуги окружностей радиуса $R = \sqrt{2{,}5}$ с центрами в точках $(\pm 1{,}5; \pm 1{,}5)$, лежащие в соответствующих координатных четвертях.