ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.18

**1)** $xy = 2$ Выразим переменную $y$ через $x$: $$ y = \frac{2}{x} $$ Графиком данного уравнения является гипербола. * Область определения: $x \neq 0$. * Область значений: $y \neq 0$. * Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициенты при переменных одного знака ($xy > 0$). * График симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. Составим таблицу значений: | $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-0{,}5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | **Построение:** на координатной плоскости строим две ветви гиперболы, проходящие через точки $(-4; -0{,}5)$, $(-2; -1)$, $(-1; -2)$ в III четверти и $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(4; 0{,}5)$ в I четверти, с асимптотами $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = 0$ (ось $Ox$). --- **2)** $|x|y = 2$ Выразим переменную $y$: $$ y = \frac{2}{|x|} $$ Так как $|x| > 0$ при всех $x \neq 0$, то $y > 0$. Значит, весь график расположен выше оси абсцисс. Раскроем модуль: * при $x > 0$: $y = \frac{2}{x}$; * при $x < 0$: $y = -\frac{2}{x}$. Функция является чётной, так как $y(-x) = \frac{2}{|-x|} = \frac{2}{|x|} = y(x)$, следовательно, график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Ветви гиперболы расположены в I и II координатных четвертях. Составим таблицу значений: | $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | **Построение:** строим ветвь гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в I четверти через точки $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(4; 0{,}5)$ и симметрично отражаем её относительно оси $Oy$ во II четверть через точки $(-1; 2)$, $(-2; 1)$, $(-4; 0{,}5)$. --- **3)** $x|y| = 2$ Выразим $|y|$: $$ |y| = \frac{2}{x} $$ Так как $|y| > 0$ для любого $y \neq 0$, то правая часть должна быть строго положительной: $\frac{2}{x} > 0 \implies x > 0$. Значит, график существует только в полуплоскости $x > 0$ (в I и IV четвертях). Раскроем модуль для $x > 0$: $$ y = \frac{2}{x} \quad \text{или} \quad y = -\frac{2}{x} $$ График уравнения симметричен относительно оси абсцисс $Ox$, так как при замене $y$ на $-y$ уравнение $x|-y| = 2$ не меняется. Составим таблицу значений (при $x > 0$): | $x$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\pm 4$ | $\pm 2$ | $\pm 1$ | $\pm 0{,}5$ | **Построение:** строим ветвь гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в I четверти через точки $(0{,}5; 4)$, $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(4; 0{,}5)$ и симметрично отражаем её относительно оси $Ox$ в IV четверть ($y = -\frac{2}{x}$) через точки $(0{,}5; -4)$, $(1; -2)$, $(2; -1)$, $(4; -0{,}5)$. --- **4)** $|x| \cdot |y| = 2$ Выразим $|y|$: $$ |y| = \frac{2}{|x|} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Раскрывая модули по всем возможным знакам переменных, получаем совокупность четырёх уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{2}{x}, & \text{если } x > 0,\ y > 0 \text{ (I четверть)}, \\ y = -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0,\ y > 0 \text{ (II четверть)}, \\ y = \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0,\ y < 0 \text{ (III четверть)}, \\ y = -\frac{2}{x}, & \text{если } x > 0,\ y < 0 \text{ (IV четверть)}. \end{cases} $$ График симметричен относительно оси $Ox$, оси $Oy$ и начала координат. Он состоит из четырёх ветвей гиперболы, расположенных во всех четырёх координатных четвертях. Опорные точки для построения: * в I четверти: $(1; 2)$, $(2; 1)$; * во II четверти: $(-1; 2)$, $(-2; 1)$; * в III четверти: $(-1; -2)$, $(-2; -1)$; * в IV четверти: $(1; -2)$, $(2; -1)$. **Построение:** строим ветвь гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в I четверти и отражаем её симметрично относительно обеих координатных осей во II, III и IV четверти.