ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.34

**1)** Решим уравнение $|x-3|+2|x+1|=4$. Найдем нули подмодульных выражений: $x - 3 = 0 \implies x = 3$; $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$. 1. При $x < -1$: $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$; $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$. Уравнение принимает вид: $$ (3 - x) + 2(-x - 1) = 4 $$ $$ 3 - x - 2x - 2 = 4 $$ $$ 1 - 3x = 4 $$ $$ -3x = 3 \implies x = -1 $$ Значение $x = -1$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < -1$. 2. При $-1 \le x < 3$: $|x - 3| = 3 - x$; $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид: $$ (3 - x) + 2(x + 1) = 4 $$ $$ 3 - x + 2x + 2 = 4 $$ $$ x + 5 = 4 \implies x = -1 $$ Значение $x = -1$ принадлежит промежутку $[-1; 3)$, следовательно, является корнем. 3. При $x \ge 3$: $|x - 3| = x - 3$; $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид: $$ (x - 3) + 2(x + 1) = 4 $$ $$ x - 3 + 2x + 2 = 4 $$ $$ 3x - 1 = 4 $$ $$ 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$ Значение $x = 1\frac{2}{3}$ не принадлежит промежутку $x \ge 3$. Ответ: $-1$. --- **2)** Решим уравнение $|5-2x|+|x+3|=2-3x$. Найдем нули подмодульных выражений: $5 - 2x = 0 \implies x = 2,5$; $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Разобьем числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -3]$, $(-3; 2,5)$ и $[2,5; +\infty)$. 1. При $x \le -3$: $5 - 2x > 0 \implies |5 - 2x| = 5 - 2x$; $x + 3 \le 0 \implies |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение принимает вид: $$ (5 - 2x) + (-x - 3) = 2 - 3x $$ $$ 2 - 3x = 2 - 3x $$ $$ 0 = 0 $$ Равенство верно для всех значений из данного промежутка. Значит, все $x \le -3$ являются решениями. 2. При $-3 < x < 2,5$: $|5 - 2x| = 5 - 2x$; $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид: $$ (5 - 2x) + (x + 3) = 2 - 3x $$ $$ 8 - x = 2 - 3x $$ $$ 2x = -6 \implies x = -3 $$ Значение $x = -3$ не входит в интервал $(-3; 2,5)$. 3. При $x \ge 2,5$: $|5 - 2x| = -(5 - 2x) = 2x - 5$; $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид: $$ (2x - 5) + (x + 3) = 2 - 3x $$ $$ 3x - 2 = 2 - 3x $$ $$ 6x = 4 \implies x = \frac{2}{3} $$ Значение $x = \frac{2}{3}$ не принадлежит промежутку $x \ge 2,5$. Ответ: $(-\infty; -3]$. --- **3)** Решим уравнение $|5-x|+|x-1|=10$. Найдем нули подмодульных выражений: $5 - x = 0 \implies x = 5$; $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Рассмотрим промежутки: $(-\infty; 1)$, $[1; 5]$ и $(5; +\infty)$. 1. При $x < 1$: $|5 - x| = 5 - x$; $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Уравнение принимает вид: $$ (5 - x) + (1 - x) = 10 $$ $$ 6 - 2x = 10 $$ $$ -2x = 4 \implies x = -2 $$ Значение $x = -2$ входит в промежуток $x < 1$, значит, является корнем. 2. При $1 \le x \le 5$: $|5 - x| = 5 - x$; $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид: $$ (5 - x) + (x - 1) = 10 $$ $$ 4 = 10 $$ Равенство неверно, решений на этом промежутке нет. 3. При $x > 5$: $|5 - x| = -(5 - x) = x - 5$; $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид: $$ (x - 5) + (x - 1) = 10 $$ $$ 2x - 6 = 10 $$ $$ 2x = 16 \implies x = 8 $$ Значение $x = 8$ входит в промежуток $x > 5$, значит, является корнем. Ответ: $-2;\ 8$. --- **4)** Решим уравнение $|4-x|+|x-2|=2$. Найдем нули подмодульных выражений: $4 - x = 0 \implies x = 4$; $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Рассмотрим промежутки: $(-\infty; 2)$, $[2; 4]$ и $(4; +\infty)$. 1. При $x < 2$: $|4 - x| = 4 - x$; $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение принимает вид: $$ (4 - x) + (2 - x) = 2 $$ $$ 6 - 2x = 2 $$ $$ -2x = -4 \implies x = 2 $$ Значение $x = 2$ не входит в промежуток $x < 2$. 2. При $2 \le x \le 4$: $|4 - x| = 4 - x$; $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид: $$ (4 - x) + (x - 2) = 2 $$ $$ 2 = 2 $$ Получили верное числовое равенство, справедливое для любого $x$ из данного промежутка. Значит, весь отрезок $[2; 4]$ является решением. 3. При $x > 4$: $|4 - x| = -(4 - x) = x - 4$; $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид: $$ (x - 4) + (x - 2) = 2 $$ $$ 2x - 6 = 2 $$ $$ 2x = 8 \implies x = 4 $$ Значение $x = 4$ не входит в промежуток $x > 4$. Ответ: $[2; 4]$.