ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.31

**1)** $(x+3)^4-13(x+3)^2+36=0$ Введем новую переменную: пусть $(x+3)^2 = t$, при этом $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 13t + 36 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 13 \\ t_1 \cdot t_2 = 36 \end{cases} $$ Отсюда: $t_1 = 9$, $t_2 = 4$. Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1) При $t = 9$: $$ (x+3)^2 = 9 $$ $$ x + 3 = 3 \quad \text{или} \quad x + 3 = -3 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -6 $$ 2) При $t = 4$: $$ (x+3)^2 = 4 $$ $$ x + 3 = 2 \quad \text{или} \quad x + 3 = -2 $$ $$ x_3 = -1, \quad x_4 = -5 $$ Ответ: $-6;\ -5;\ -1;\ 0$. --- **2)** $(2x-1)^4-(2x-1)^2-12=0$ Пусть $(2x-1)^2 = t$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 - t - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 1 \\ t_1 \cdot t_2 = -12 \end{cases} $$ Получаем: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$. Значение $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Вернемся к замене для $t = 4$: $$ (2x-1)^2 = 4 $$ $$ 2x - 1 = 2 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = -2 $$ $$ 2x = 3 \implies x_1 = 1{,}5 $$ $$ 2x = -1 \implies x_2 = -0{,}5 $$ Ответ: $-0{,}5;\ 1{,}5$. --- **3)** $(x-1)^4-x^2+2x-73=0$ Преобразуем выражение $-x^2 + 2x$, выделив полный квадрат: $$ -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1 $$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ (x-1)^4 - (x-1)^2 + 1 - 73 = 0 $$ $$ (x-1)^4 - (x-1)^2 - 72 = 0 $$ Пусть $(x-1)^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем уравнение: $$ t^2 - t - 72 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 1 \\ t_1 \cdot t_2 = -72 \end{cases} $$ Отсюда $t_1 = 9$, $t_2 = -8$. Значение $t_2 = -8$ не подходит, так как $t \ge 0$. Выполним обратную замену для $t = 9$: $$ (x-1)^2 = 9 $$ $$ x - 1 = 3 \quad \text{или} \quad x - 1 = -3 $$ $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -2 $$ Ответ: $-2;\ 4$. --- **4)** $(x+2)^4+2x^2+8x-16=0$ Преобразуем выражение $2x^2 + 8x$, выделив квадрат двучлена: $$ 2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x) = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) = 2(x+2)^2 - 8 $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ (x+2)^4 + 2(x+2)^2 - 8 - 16 = 0 $$ $$ (x+2)^4 + 2(x+2)^2 - 24 = 0 $$ Пусть $(x+2)^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + 2t - 24 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = -2 \\ t_1 \cdot t_2 = -24 \end{cases} $$ Отсюда $t_1 = 4$, $t_2 = -6$. Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для $t = 4$: $$ (x+2)^2 = 4 $$ $$ x + 2 = 2 \quad \text{или} \quad x + 2 = -2 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -4 $$ Ответ: $-4;\ 0$.