ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.33

1) $\sqrt{y+2}-\sqrt{y-6}=2$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} y + 2 \ge 0 \\ y - 6 \ge 0 \end{cases} \implies y \ge 6 $$ Перенесем слагаемое с корнем в правую часть: $$ \sqrt{y+2} = 2 + \sqrt{y-6} $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ y + 2 = (2 + \sqrt{y-6})^2 $$ $$ y + 2 = 4 + 4\sqrt{y-6} + y - 6 $$ $$ y + 2 = y - 2 + 4\sqrt{y-6} $$ $$ 4\sqrt{y-6} = 4 $$ $$ \sqrt{y-6} = 1 $$ $$ y - 6 = 1 $$ $$ y = 7 $$ Проверка: $\sqrt{7+2} - \sqrt{7-6} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$ — верно. Значение $y = 7$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $7$. 2) $\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 22 - x \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \implies x \le 10 $$ Перенесем корень в правую часть: $$ \sqrt{22-x} = 2 + \sqrt{10-x} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 22 - x = (2 + \sqrt{10-x})^2 $$ $$ 22 - x = 4 + 4\sqrt{10-x} + 10 - x $$ $$ 22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10-x} $$ $$ 4\sqrt{10-x} = 8 $$ $$ \sqrt{10-x} = 2 $$ $$ 10 - x = 4 $$ $$ x = 6 $$ Проверка: $\sqrt{22-6} - \sqrt{10-6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$ — верно. Значение $x = 6$ входит в ОДЗ. Ответ: $6$. 3) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 1 $$ Перенесем корень в правую часть: $$ \sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 3x + 1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + x - 1 $$ $$ 3x + 1 = x + 3 + 4\sqrt{x-1} $$ $$ 2x - 2 = 4\sqrt{x-1} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x - 1 = 2\sqrt{x-1} $$ Пусть $\sqrt{x-1} = t$, где $t \ge 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$ t^2 = 2t $$ $$ t^2 - 2t = 0 $$ $$ t(t - 2) = 0 $$ Отсюда: $t_1 = 0 \implies \sqrt{x-1} = 0 \implies x_1 = 1$; $t_2 = 2 \implies \sqrt{x-1} = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x_2 = 5$. Проверка: При $x = 1$: $\sqrt{3\cdot 1 + 1} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{4} - 0 = 2$ — верно. При $x = 5$: $\sqrt{3\cdot 5 + 1} - \sqrt{5 - 1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$ — верно. Ответ: $1;\ 5$. 4) $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge \frac{2}{3} $$ Оставим один корень в левой части: $$ \sqrt{3x-2} = 7 - \sqrt{x+3} $$ Так как левая часть неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $7 - \sqrt{x+3} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \le 7 \implies x \le 46$. Возведем обе части в квадрат: $$ 3x - 2 = 49 - 14\sqrt{x+3} + x + 3 $$ $$ 3x - 2 = x + 52 - 14\sqrt{x+3} $$ $$ 14\sqrt{x+3} = 54 - 2x $$ Разделим обе части на $2$: $$ 7\sqrt{x+3} = 27 - x $$ Условие неотрицательности правой части: $27 - x \ge 0 \implies x \le 27$. Возведем обе части в квадрат: $$ 49(x + 3) = (27 - x)^2 $$ $$ 49x + 147 = 729 - 54x + x^2 $$ $$ x^2 - 103x + 582 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-103)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 582 = 10609 - 2328 = 8281 = 91^2 $$ $$ x_1 = \frac{103 - 91}{2} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{103 + 91}{2} = 97 $$ Значение $x_2 = 97$ не удовлетворяет условию $x \le 27$ (посторонний корень). Проверка для $x = 6$: $\sqrt{6+3} + \sqrt{3\cdot 6 - 2} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ — верно. Ответ: $6$. 5) $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 2x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge -1 $$ Перенесем корень в правую часть: $$ \sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1} $$ Правая часть должна быть неотрицательной: $$ 1 - \sqrt{x+1} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \le 1 \implies x + 1 \le 1 \implies x \le 0 $$ С учетом ОДЗ получаем: $-1 \le x \le 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 2x + 3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + x + 1 $$ $$ 2x + 3 = x + 2 - 2\sqrt{x+1} $$ $$ x + 1 = -2\sqrt{x+1} $$ Так как $x+1 = (\sqrt{x+1})^2$, перепишем уравнение: $$ (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x+1} = 0 $$ $$ \sqrt{x+1}(\sqrt{x+1} + 2) = 0 $$ Так как $\sqrt{x+1} + 2 \ge 2 > 0$, получаем: $$ \sqrt{x+1} = 0 $$ $$ x + 1 = 0 \implies x = -1 $$ Проверка: $\sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = 0 + \sqrt{1} = 1$ — верно. Ответ: $-1$. 6) $\sqrt{3x-2}=2\sqrt{x+2}-2$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies x \ge \frac{2}{3} $$ Перенесем слагаемое $-2$ в левую часть: $$ \sqrt{3x-2} + 2 = 2\sqrt{x+2} $$ Обе части уравнения неотрицательны при $x \ge \frac{2}{3}$. Возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{3x-2} + 2)^2 = (2\sqrt{x+2})^2 $$ $$ 3x - 2 + 4\sqrt{3x-2} + 4 = 4(x + 2) $$ $$ 3x + 2 + 4\sqrt{3x-2} = 4x + 8 $$ $$ 4\sqrt{3x-2} = x + 6 $$ Так как при $x \ge \frac{2}{3}$ выражение $x + 6 > 0$, снова возведем обе части в квадрат: $$ 16(3x - 2) = (x + 6)^2 $$ $$ 48x - 32 = x^2 + 12x + 36 $$ $$ x^2 - 36x + 68 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D_1 = (-18)^2 - 1 \cdot 68 = 324 - 68 = 256 = 16^2 $$ $$ x_1 = 18 - 16 = 2 $$ $$ x_2 = 18 + 16 = 34 $$ Проверка: При $x = 2$: $\sqrt{3\cdot 2 - 2} = \sqrt{4} = 2$ $2\sqrt{2+2} - 2 = 2\cdot 2 - 2 = 2$ $2 = 2$ — верно. При $x = 34$: $\sqrt{3\cdot 34 - 2} = \sqrt{100} = 10$ $2\sqrt{34+2} - 2 = 2\cdot 6 - 2 = 10$ $10 = 10$ — верно. Ответ: $2;\ 34$.