ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.32

**1)** $x^{4} + x^{3} - 4x^{2} + x + 1 = 0$ Так как $x = 0$ не является корнем уравнения ($1 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^{2}$: $$ x^{2} + x - 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами: $$ \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 4 = 0 $$ Введем новую переменную: пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда: $$ t^{2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 $$ Подставим замену в уравнение: $$ (t^{2} - 2) + t - 4 = 0 $$ $$ t^{2} + t - 6 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $t_{1} = 2$, $t_{2} = -3$. Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 2$: $$ x + \frac{1}{x} = 2 $$ Умножим на $x \neq 0$: $$ x^{2} - 2x + 1 = 0 $$ $$ (x - 1)^{2} = 0 \implies x_{1} = 1 $$ 2. При $t = -3$: $$ x + \frac{1}{x} = -3 $$ $$ x^{2} + 3x + 1 = 0 $$ $$ D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $$ $$ x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Ответ: $1$; $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. --- **2)** $6x^{4} + 5x^{3} - 38x^{2} + 5x + 6 = 0$ Так как $x = 0$ не является корнем ($6 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^{2}$: $$ 6x^{2} + 5x - 38 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ 6\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) + 5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 38 = 0 $$ Пусть $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$: $$ 6(t^{2} - 2) + 5t - 38 = 0 $$ $$ 6t^{2} + 5t - 50 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 5^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 = 35^{2} $$ $$ t_{1} = \frac{-5 + 35}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} $$ $$ t_{2} = \frac{-5 - 35}{12} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = \frac{5}{2}$: $$ x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} $$ Умножим на $2x \neq 0$: $$ 2x^{2} - 5x + 2 = 0 $$ $$ D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ x_{1} = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad x_{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} $$ 2. При $t = -\frac{10}{3}$: $$ x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} $$ Умножим на $3x \neq 0$: $$ 3x^{2} + 10x + 3 = 0 $$ $$ D = 10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$ $$ x_{3} = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_{4} = \frac{-10 - 8}{6} = -3 $$ Ответ: $-3$; $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$; $2$. --- **3)** $x^{3} - 3x^{2} - 3x + 1 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x^{3} + 1) - (3x^{2} + 3x) = 0 $$ Применим формулу суммы кубов $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$: $$ (x + 1)(x^{2} - x + 1) - 3x(x + 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x + 1)$: $$ (x + 1)(x^{2} - x + 1 - 3x) = 0 $$ $$ (x + 1)(x^{2} - 4x + 1) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $x + 1 = 0 \implies x_{1} = -1$ 2. $x^{2} - 4x + 1 = 0$ $$ D_{1} = (-2)^{2} - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3 $$ $$ x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{3} $$ Ответ: $-1$; $2 \pm \sqrt{3}$. --- **4)** $3x^{3} - 7x^{2} - 7x + 3 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $$ 3(x^{3} + 1) - 7x(x + 1) = 0 $$ Разложим сумму кубов: $$ 3(x + 1)(x^{2} - x + 1) - 7x(x + 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x + 1)$: $$ (x + 1)\bigl(3(x^{2} - x + 1) - 7x\bigr) = 0 $$ $$ (x + 1)(3x^{2} - 3x + 3 - 7x) = 0 $$ $$ (x + 1)(3x^{2} - 10x + 3) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $x + 1 = 0 \implies x_{1} = -1$ 2. $3x^{2} - 10x + 3 = 0$ $$ D_{1} = (-5)^{2} - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16 = 4^{2} $$ $$ x_{2} = \frac{5 + 4}{3} = 3, \quad x_{3} = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $-1$; $\frac{1}{3}$; $3$. --- **5)** $5x^{4} - 12x^{3} + 11x^{2} - 12x + 5 = 0$ Так как $x = 0$ не является корнем ($5 \neq 0$), разделим обе части на $x^{2}$: $$ 5x^{2} - 12x + 11 - \frac{12}{x} + \frac{5}{x^{2}} = 0 $$ Сгруппируем: $$ 5\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 12\left(x + \frac{1}{x}\right) + 11 = 0 $$ Пусть $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$: $$ 5(t^{2} - 2) - 12t + 11 = 0 $$ $$ 5t^{2} - 12t + 1 = 0 $$ Найдем корни относительно $t$: $$ D_{1} = (-6)^{2} - 5 \cdot 1 = 36 - 5 = 31 $$ $$ t = \frac{6 \pm \sqrt{31}}{5} $$ Для любого действительного числа $x \neq 0$ верно неравенство $\left|x + \frac{1}{x}\right| \ge 2$: - Для $t_{2} = \frac{6 - \sqrt{31}}{5} \approx \frac{6 - 5{,}57}{5} \approx 0{,}086 < 2$ уравнение $x + \frac{1}{x} = t_{2}$ не имеет действительных корней, так как $D = t_{2}^{2} - 4 < 0$. - Для $t_{1} = \frac{6 + \sqrt{31}}{5} \approx \frac{11{,}57}{5} \approx 2{,}31 > 2$: $$ x + \frac{1}{x} = \frac{6 + \sqrt{31}}{5} $$ Умножим на $5x$: $$ 5x^{2} - (6 + \sqrt{31})x + 5 = 0 $$ $$ D = (6 + \sqrt{31})^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 36 + 12\sqrt{31} + 31 - 100 = 12\sqrt{31} - 33 $$ Так как $12\sqrt{31} \approx 66{,}8 > 33$, то $D > 0$: $$ x = \frac{6 + \sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31} - 33}}{10} $$ Ответ: $\frac{6 + \sqrt{31} \pm \sqrt{12\sqrt{31} - 33}}{10}$. --- **6)** $x^{4} + 5x^{3} + 4x^{2} - 5x + 1 = 0$ Так как $x = 0$ не является корнем ($1 \neq 0$), разделим обе части на $x^{2}$: $$ x^{2} + 5x + 4 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) + 5\left(x - \frac{1}{x}\right) + 4 = 0 $$ Пусть $t = x - \frac{1}{x}$. Возведем обе части в квадрат: $$ t^{2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} + 2 $$ Подставим в уравнение: $$ (t^{2} + 2) + 5t + 4 = 0 $$ $$ t^{2} + 5t + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_{1} = -2$, $t_{2} = -3$. Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = -2$: $$ x - \frac{1}{x} = -2 $$ Умножим на $x \neq 0$: $$ x^{2} + 2x - 1 = 0 $$ $$ D_{1} = 1^{2} - 1 \cdot (-1) = 2 $$ $$ x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ 2. При $t = -3$: $$ x - \frac{1}{x} = -3 $$ Умножим на $x \neq 0$: $$ x^{2} + 3x - 1 = 0 $$ $$ D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 $$ $$ x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} $$ Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}$; $\frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.