ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.37

1) $\frac{7x^2 + x - 8}{7x - 7}$ Разложим числитель на множители с помощью корней квадратного трехчлена $7x^2 + x - 8 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225 = 15^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1; \quad x_2 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 7} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7} $$ Тогда $7x^2 + x - 8 = 7(x - 1)\left(x + \frac{8}{7}\right) = (x - 1)(7x + 8)$. В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $7x - 7 = 7(x - 1)$. Сократим дробь: $$ \frac{7x^2 + x - 8}{7x - 7} = \frac{(x - 1)(7x + 8)}{7(x - 1)} = \frac{7x + 8}{7} $$ Ответ: $\frac{7x + 8}{7}$. --- 2) $\frac{5a + 10}{2a^2 + 13a + 18}$ В числителе вынесем общий множитель $5$: $5a + 10 = 5(a + 2)$. Разложим трехчлен в знаменателе на множители через дискриминант $2a^2 + 13a + 18 = 0$: $$ D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 169 - 144 = 25 = 5^2 $$ $$ a_1 = \frac{-13 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2; \quad a_2 = \frac{-13 - 5}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2} $$ Получаем: $2a^2 + 13a + 18 = 2(a + 2)\left(a + \frac{9}{2}\right) = (a + 2)(2a + 9)$. Сократим дробь: $$ \frac{5a + 10}{2a^2 + 13a + 18} = \frac{5(a + 2)}{(a + 2)(2a + 9)} = \frac{5}{2a + 9} $$ Ответ: $\frac{5}{2a + 9}$. --- 3) $\frac{b^2 - 8b + 15}{b^2 - 25}$ Разложим числитель по теореме Виета для уравнения $b^2 - 8b + 15 = 0$: Сумма корней равна $8$, произведение равно $15 \implies b_1 = 3$, $b_2 = 5$. Значит, $b^2 - 8b + 15 = (b - 3)(b - 5)$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $b^2 - 25 = (b - 5)(b + 5)$. Сократим дробь: $$ \frac{b^2 - 8b + 15}{b^2 - 25} = \frac{(b - 3)(b - 5)}{(b - 5)(b + 5)} = \frac{b - 3}{b + 5} $$ Ответ: $\frac{b - 3}{b + 5}$. --- 4) $\frac{y^2 - 5y - 36}{81 - y^2}$ Разложим числитель по теореме Виета для уравнения $y^2 - 5y - 36 = 0$: Сумма корней равна $5$, произведение равно $-36 \implies y_1 = 9$, $y_2 = -4$. Значит, $y^2 - 5y - 36 = (y - 9)(y + 4)$. В знаменателе применим формулу разности квадратов: $81 - y^2 = (9 - y)(9 + y) = -(y - 9)(y + 9)$. Сократим дробь: $$ \frac{y^2 - 5y - 36}{81 - y^2} = \frac{(y - 9)(y + 4)}{-(y - 9)(y + 9)} = -\frac{y + 4}{y + 9} $$ Ответ: $-\frac{y + 4}{y + 9}$. --- 5) $\frac{c^2 - 10c - 11}{22 + 9c - c^2}$ Разложим числитель по теореме Виета для уравнения $c^2 - 10c - 11 = 0$: Корни равны $11$ и $-1 \implies c^2 - 10c - 11 = (c - 11)(c + 1)$. Знаменатель преобразуем, вынеся знак минус: $22 + 9c - c^2 = -(c^2 - 9c - 22)$. Корни трехчлена $c^2 - 9c - 22 = 0$ по теореме Виета равны $11$ и $-2$: $c^2 - 9c - 22 = (c - 11)(c + 2)$. Значит, $22 + 9c - c^2 = -(c - 11)(c + 2)$. Сократим дробь: $$ \frac{c^2 - 10c - 11}{22 + 9c - c^2} = \frac{(c - 11)(c + 1)}{-(c - 11)(c + 2)} = -\frac{c + 1}{c + 2} $$ Ответ: $-\frac{c + 1}{c + 2}$. --- 6) $\frac{5a^2 + 8a + 3}{14 + 3a - 11a^2}$ Разложим числитель на множители через корни уравнения $5a^2 + 8a + 3 = 0$: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 = 2^2 $$ $$ a_1 = \frac{-8 + 2}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}; \quad a_2 = \frac{-8 - 2}{10} = -1 $$ Получаем: $5a^2 + 8a + 3 = 5(a + 1)\left(a + \frac{3}{5}\right) = (a + 1)(5a + 3)$. Разложим знаменатель: $14 + 3a - 11a^2 = -(11a^2 - 3a - 14)$. Найдем корни трехчлена $11a^2 - 3a - 14 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625 = 25^2 $$ $$ a_1 = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}; \quad a_2 = \frac{3 - 25}{22} = -\frac{22}{22} = -1 $$ Получаем: $-(11a^2 - 3a - 14) = -11(a + 1)\left(a - \frac{14}{11}\right) = -(a + 1)(11a - 14) = (a + 1)(14 - 11a)$. Сократим дробь: $$ \frac{5a^2 + 8a + 3}{14 + 3a - 11a^2} = \frac{(a + 1)(5a + 3)}{(a + 1)(14 - 11a)} = \frac{5a + 3}{14 - 11a} $$ Ответ: $\frac{5a + 3}{14 - 11a}$ (или $-\frac{5a + 3}{11a - 14}$).