ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.30

**1)** $x^{4}-29x^{2}+100=0$ Пусть $x^{2} = t$, где $t \ge 0$. Тогда получаем квадратное уравнение: $$ t^{2}-29t+100=0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-29)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 = 21^{2} $$ $$ t_{1} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25 $$ $$ t_{2} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1. $x^{2} = 25 \implies x = \pm 5$ 2. $x^{2} = 4 \implies x = \pm 2$ Ответ: $-5;\ -2;\ 2;\ 5$. --- **2)** $x^{4}+7x^{2}+10=0$ Пусть $x^{2} = t$, где $t \ge 0$. Тогда получаем уравнение: $$ t^{2}+7t+10=0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_{1} + t_{2} = -7 \\ t_{1} \cdot t_{2} = 10 \end{cases} $$ Отсюда находим корни: $$ t_{1} = -2, \quad t_{2} = -5 $$ Так как $t = x^{2} \ge 0$, а оба корня отрицательны ($-2 < 0$ и $-5 < 0$), ни один из них не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: действительных корней нет. --- **3)** $5y^{4}+2y^{2}-3=0$ Пусть $y^{2} = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 5t^{2}+2t-3=0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^{2} $$ $$ t_{1} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$ $$ t_{2} = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $$ Значение $t_{2} = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для $t_{1} = \frac{3}{5}$: $$ y^{2} = \frac{3}{5} \implies y = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{5} $$ Ответ: $-\frac{\sqrt{15}}{5};\ \frac{\sqrt{15}}{5}$. --- **4)** $2y^{4}-5y^{2}-7=0$ Пусть $y^{2} = t$, где $t \ge 0$. Получаем уравнение: $$ 2t^{2}-5t-7=0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^{2} $$ $$ t_{1} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $$ $$ t_{2} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ Значение $t_{2} = -1$ не подходит, так как $t \ge 0$. Выполним обратную замену для $t_{1} = \frac{7}{2}$: $$ y^{2} = \frac{7}{2} \implies y = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2} $$ Ответ: $-\frac{\sqrt{14}}{2};\ \frac{\sqrt{14}}{2}$. --- **5)** $x^{4}-(a^{2}+9)x^{2}+9a^{2}=0$ Пусть $x^{2} = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^{2}-(a^{2}+9)t+9a^{2}=0 $$ По теореме, обратной теореме Виета: $$ \begin{cases} t_{1} + t_{2} = a^{2} + 9 \\ t_{1} \cdot t_{2} = 9a^{2} \end{cases} $$ Отсюда сразу находим: $$ t_{1} = 9, \quad t_{2} = a^{2} $$ Так как $9 > 0$ и $a^{2} \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1. $x^{2} = 9 \implies x = \pm 3$ 2. $x^{2} = a^{2} \implies x = \pm a$ Ответ: $\pm 3;\ \pm a$. --- **6)** $x^{4}-(9a^{2}+4)x^{2}+36a^{2}=0$ Пусть $x^{2} = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^{2}-(9a^{2}+4)t+36a^{2}=0 $$ По теореме, обратной теореме Виета: $$ \begin{cases} t_{1} + t_{2} = 9a^{2} + 4 \\ t_{1} \cdot t_{2} = 36a^{2} \end{cases} $$ Отсюда: $$ t_{1} = 4, \quad t_{2} = 9a^{2} $$ Поскольку $4 > 0$ и $9a^{2} \ge 0$ при любых действительных $a$, оба корня неотрицательны. Выполним обратную замену: 1. $x^{2} = 4 \implies x = \pm 2$ 2. $x^{2} = 9a^{2} \implies x = \pm 3a$ Ответ: $\pm 2;\ \pm 3a$.