ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.29

**1)** $$ x+2-\frac{3x+8}{x+2}=\frac{x}{x+2} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)$: $$ (x+2)^2 - (3x+8) = x $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ x^2 + 4x + 4 - 3x - 8 = x $$ $$ x^2 + x - 4 - x = 0 $$ $$ x^2 - 4 = 0 $$ $$ x^2 = 4 $$ $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Значение $x = -2$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним корнем. Ответ: $2$ --- **2)** $$ \frac{6}{4x^{2}-1}+\frac{3}{2x+1}=\frac{2}{2x-1}+1 $$ Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $$ 4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1) $$ ОДЗ: $$ 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} $$ $$ 2x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x-1)(2x+1)$: $$ 6 + 3(2x-1) = 2(2x+1) + 1 \cdot (4x^2-1) $$ Раскроем скобки: $$ 6 + 6x - 3 = 4x + 2 + 4x^2 - 1 $$ $$ 6x + 3 = 4x^2 + 4x + 1 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ 4x^2 + 4x + 1 - 6x - 3 = 0 $$ $$ 4x^2 - 2x - 2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2x^2 - x - 1 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Значение $x = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ (знаменатель обращается в нуль), поэтому является посторонним корнем. Ответ: $1$ --- **3)** $$ \frac{4}{(x-3)(x-1)}+\frac{2}{3-x}+\frac{5}{x-1}=7 $$ Изменим знак в знаменателе второй дроби, вынеся минус: $$ \frac{2}{3-x} = -\frac{2}{x-3} $$ Перепишем уравнение: $$ \frac{4}{(x-3)(x-1)}-\frac{2}{x-3}+\frac{5}{x-1}=7 $$ ОДЗ: $$ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 $$ $$ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $$ Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x-1)$: $$ 4 - 2(x-1) + 5(x-3) = 7(x-3)(x-1) $$ Раскроем скобки: $$ 4 - 2x + 2 + 5x - 15 = 7(x^2 - 4x + 3) $$ $$ 3x - 9 = 7x^2 - 28x + 21 $$ Перенесем все члены в правую часть: $$ 7x^2 - 28x + 21 - 3x + 9 = 0 $$ $$ 7x^2 - 31x + 30 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} $$ Значение $x = 3$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Ответ: $1\frac{3}{7}$ (или $\frac{10}{7}$) --- **4)** $$ \frac{1}{x+2}-\frac{3}{x-2}=\frac{4}{4-x^{2}}+1 $$ Преобразуем знаменатель дроби в правой части: $4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$. Тогда: $$ \frac{4}{4-x^2} = -\frac{4}{(x-2)(x+2)} $$ Перепишем уравнение: $$ \frac{1}{x+2}-\frac{3}{x-2}=-\frac{4}{(x-2)(x+2)}+1 $$ ОДЗ: $$ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 $$ $$ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$: $$ 1 \cdot (x-2) - 3(x+2) = -4 + 1 \cdot (x^2-4) $$ Раскроем скобки: $$ x - 2 - 3x - 6 = -4 + x^2 - 4 $$ $$ -2x - 8 = x^2 - 8 $$ Перенесем слагаемые в правую часть: $$ x^2 - 8 + 2x + 8 = 0 $$ $$ x^2 + 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ x(x + 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = -2 $$ Значение $x = -2$ не входит в ОДЗ, поэтому корень посторонний. Ответ: $0$