ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 102

1) Воспользуемся свойством корня степени $n$ из произведения неотрицательных чисел $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ (для нечётной степени $n = 3$ свойство справедливо для любых действительных чисел): $$ \sqrt[3]{2ab^2} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} = \sqrt[3]{2ab^2 \cdot 4a^2b} $$ Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $$ \sqrt[3]{(2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b)} = \sqrt[3]{8a^3b^3} = \sqrt[3]{(2ab)^3} = 2ab $$ Ответ: $2ab$. 2) Объединим подкоренные выражения под один корень четвёртой степени: $$ \sqrt[4]{3a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{27a^2b} = \sqrt[4]{3a^2b^3 \cdot 27a^2b} $$ Перемножим числовые множители и переменные: $$ \sqrt[4]{(3 \cdot 27) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b)} = \sqrt[4]{81a^4b^4} = \sqrt[4]{(3ab)^4} $$ Так как исходные корни четвёртой степени имеют смысл, подкоренные выражения неотрицательны, откуда $b \ge 0$. По определению арифметического корня четвёртой степени: $$ \sqrt[4]{(3ab)^4} = |3ab| = 3|a|b $$ Если переменные неотрицательны ($a \ge 0$), выражение равно $3ab$. Ответ: $3|a|b$ (или $3ab$ при $a \ge 0$). 3) Применим свойство умножения корней одной степени: $$ \sqrt[4]{\frac{ab}{c}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a^3c}{b}} = \sqrt[4]{\frac{ab}{c} \cdot \frac{a^3c}{b}} $$ Выполним умножение дробей под знаком корня и сократим на общие множители $b$ и $c$ ($b \ne 0, c \ne 0$): $$ \sqrt[4]{\frac{ab \cdot a^3c}{c \cdot b}} = \sqrt[4]{\frac{a^4bc}{bc}} = \sqrt[4]{a^4} = |a| $$ Если переменная $a > 0$, то значение равно $a$. Ответ: $|a|$ (или $a$ при $a > 0$). 4) Занесём сомножители под общий корень третьей степени: $$ \sqrt[3]{\frac{16a}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2ab}} = \sqrt[3]{\frac{16a}{b^2} \cdot \frac{1}{2ab}} $$ Перемножим дроби под знаком корня: $$ \sqrt[3]{\frac{16a}{2ab^3}} $$ Сократим дробь на $2a$ ($a \ne 0, b \ne 0$): $$ \sqrt[3]{\frac{8}{b^3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{b^3}} = \frac{2}{b} $$ Ответ: $\frac{2}{b}$.