ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 100

Для вычисления значений выражений воспользуемся свойствами корня $n$-й степени из произведения и степени: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для $a \ge 0$, $b \ge 0$) и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ (для $a > 0$). 1) Извлечем корень пятой степени из каждого множителя: $$ \sqrt[5]{3^{10} \cdot 2^{15}} = \sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{2^{15}} = 3^{\frac{10}{5}} \cdot 2^{\frac{15}{5}} = 3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72 $$ 2) Извлечем корень третьей степени из каждого множителя: $$ \sqrt[3]{2^3 \cdot 5^6} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^6} = 2^{\frac{3}{3}} \cdot 5^{\frac{6}{3}} = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50 $$ 3) Представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием $3$, то есть $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, и упростим подкоренное выражение: $$ \sqrt[4]{3^{12} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8} = \sqrt[4]{3^{12} \cdot (3^{-1})^8} = \sqrt[4]{3^{12} \cdot 3^{-8}} = \sqrt[4]{3^{12 - 8}} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $$ 4) Приведем степени под знаком корня к общему основанию $2$, учитывая, что $4 = 2^2$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$: $$ \sqrt[10]{4^{30} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{20}} = \sqrt[10]{(2^2)^{30} \cdot (2^{-1})^{20}} = \sqrt[10]{2^{60} \cdot 2^{-20}} = \sqrt[10]{2^{60 - 20}} = \sqrt[10]{2^{40}} = 2^{\frac{40}{10}} = 2^4 = 16 $$ Ответ: 1) $72$; 2) $50$; 3) $3$; 4) $16$.