ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 105

При решении примеров используем свойство корня степени $n$: частное корней с одинаковыми показателями равно корню из частного подкоренных выражений, то есть $\sqrt[n]{A} : \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{\frac{A}{B}}$ (при условии, что выражения имеют смысл). 1) Упростим выражение $\sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{ab^2}$: Запишем деление корней под один общий корень пятой степени: $$ \sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{ab^2} = \sqrt[5]{\frac{a^6 b^7}{ab^2}} $$ Сократим дробь под знаком корня, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \sqrt[5]{\frac{a^6 b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^{6-1} b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5 b^5} $$ Извлечем корень нечетной пятой степени: $$ \sqrt[5]{a^5 b^5} = ab $$ 2) Упростим выражение $\sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy}$: Запишем деление корней под один общий корень третьей степени: $$ \sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy} = \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}} $$ Выполним деление коэффициентов и переменных под знаком корня: $$ \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}} = \sqrt[3]{27x^{4-1}y^{1-1}} = \sqrt[3]{27x^3} $$ Так как $27 = 3^3$, извлечем кубический корень: $$ \sqrt[3]{27x^3} = 3x $$ 3) Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}}$: Запишем частное под одним знаком кубического корня: $$ \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} : \frac{y}{9x^2}} $$ Заменим деление дробей умножением на взаимно обратную дробь: $$ \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{3x \cdot 9x^2}{y^2 \cdot y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}} $$ Извлечем кубический корень из числителя и знаменателя: $$ \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}} = \frac{3x}{y} $$ 4) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}}$: Объединим под общий корень четвертой степени: $$ \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} : \frac{a}{8b^3}} $$ Заменим деление дробей умножением: $$ \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \cdot \frac{8b^3}{a}} = \sqrt[4]{\frac{2b \cdot 8b^3}{a^3 \cdot a}} = \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} $$ Так как $16 = 2^4$, извлечем корень четвертой степени: $$ \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} = \frac{2b}{a} $$ Ответ: 1) $ab$; 2) $3x$; 3) $\frac{3x}{y}$; 4) $\frac{2b}{a}$.