ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.26

1) Докажем тождество: $$ \frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{x + c}{2x + y} $$ Преобразуем левую часть равенства, разложив числитель и знаменатель на множители способом группировки: * Числитель: $$ ac + bx + ax + bc = (ac + bc) + (ax + bx) = c(a + b) + x(a + b) = (a + b)(c + x) = (a + b)(x + c) $$ * Знаменатель: $$ ay + 2bx + 2ax + by = (ay + by) + (2ax + 2bx) = y(a + b) + 2x(a + b) = (a + b)(2x + y) $$ Подставим полученные разложения в дробь и сократим её на общий множитель $(a + b)$: $$ \frac{(a + b)(x + c)}{(a + b)(2x + y)} = \frac{x + c}{2x + y} $$ Получили: $$ \frac{x + c}{2x + y} = \frac{x + c}{2x + y} $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{x + z}{(1 - y)^2} $$ Преобразуем левую часть равенства: * В числителе применим способ группировки: $$ x - xy + z - zy = (x - xy) + (z - zy) = x(1 - y) + z(1 - y) = (x + z)(1 - y) $$ * В знаменателе применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $$ 1 - 3y + 3y^2 - y^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 - y^3 = (1 - y)^3 $$ Подставим полученные выражения в дробь и сократим её на $(1 - y)$: $$ \frac{(x + z)(1 - y)}{(1 - y)^3} = \frac{x + z}{(1 - y)^2} $$ Получили: $$ \frac{x + z}{(1 - y)^2} = \frac{x + z}{(1 - y)^2} $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ \frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5} = \frac{1}{3a^2 - b^2} $$ Преобразуем левую часть равенства: * Разложим числитель на множители способом группировки: $$ 3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3 = (3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (a - 2b)(3a^2 + b^2) $$ * Разложим знаменатель на множители: $$ 9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5 = (9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (a - 2b)(9a^4 - b^4) $$ Используем формулу разности квадратов для двучлена $9a^4 - b^4$: $$ 9a^4 - b^4 = (3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2) $$ Тогда знаменатель равен: $$ (a - 2b)(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2) $$ Подставим разложения числителя и знаменателя в дробь и сократим её на общие множители $(a - 2b)$ и $(3a^2 + b^2)$: $$ \frac{(a - 2b)(3a^2 + b^2)}{(a - 2b)(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)} = \frac{1}{3a^2 - b^2} $$ Получили: $$ \frac{1}{3a^2 - b^2} = \frac{1}{3a^2 - b^2} $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано.