ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.17

**6.17.** Сократим алгебраические дроби, разложив числитель и знаменатель каждой дроби на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки и формул сокращённого умножения. 1) $$ \frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} $$ В числителе вынесем за скобки общий множитель $5ab$, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $$ 5a^3b + 5ab^3 = 5ab(a^2 + b^2) $$ $$ a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $$ Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a^2 + b^2)$: $$ \frac{5ab(a^2 + b^2)}{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)} = \frac{5ab}{a^2 - b^2} $$ Ответ: $\frac{5ab}{a^2 - b^2}$. --- 2) $$ \frac{a^4 - b^4}{ab^2 - a^3} $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель $-a$: $$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $$ $$ ab^2 - a^3 = a(b^2 - a^2) = -a(a^2 - b^2) $$ Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - b^2)$: $$ \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{-a(a^2 - b^2)} = -\frac{a^2 + b^2}{a} $$ Ответ: $-\frac{a^2 + b^2}{a}$. --- 3) $$ \frac{2a + 4}{a^3 + 8} $$ В числителе вынесем общий множитель $2$, а знаменатель разложим по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ 2a + 4 = 2(a + 2) $$ $$ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $$ Сократим дробь на общий множитель $(a + 2)$: $$ \frac{2(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{2}{a^2 - 2a + 4} $$ Ответ: $\frac{2}{a^2 - 2a + 4}$. --- 4) $$ \frac{a^4 - b^4}{a^3 - b^3} $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов, применив её дважды: $$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2) $$ Знаменатель разложим по формуле разности кубов: $$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$ Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$: $$ \frac{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{(a + b)(a^2 + b^2)}{a^2 + ab + b^2} $$ Ответ: $\frac{(a + b)(a^2 + b^2)}{a^2 + ab + b^2}$.