ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.78

Пусть дано произвольное число $a$. Тогда противоположное ему число равно $-a$. 1) Докажем, что квадраты противоположных чисел равны, то есть $(-a)^2 = a^2$. По определению степени числа: $$ (-a)^2 = (-a) \cdot (-a) $$ Произведение двух отрицательных чисел (или чисел с одинаковыми знаками) есть число положительное: $$ (-a) \cdot (-a) = a \cdot a = a^2 $$ Таким образом: $$ (-a)^2 = a^2 $$ Квадраты противоположных чисел равны, что и требовалось доказать. 2) Докажем, что кубы противоположных чисел противоположны, то есть $(-a)^3 = -a^3$. По определению степени числа: $$ (-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) $$ Так как $(-a) \cdot (-a) = a^2$, получаем: $$ (-a)^3 = a^2 \cdot (-a) = -(a^2 \cdot a) = -a^3 $$ Числа $a^3$ и $-a^3$ отличаются только знаком, следовательно, они являются противоположными. Кубы противоположных чисел противоположны, что и требовалось доказать.