ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1557

В числе $\overline{a3609a}$ буква $a$ обозначает одну и ту же цифру. Так как эта буква стоит на первом месте шестизначного числа, она не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. a) **на 5** Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5. Последняя цифра числа — это $a$. Так как $a \neq 0$, остаётся единственный вариант: $$a = 5$$ Получаем число: $536095$. Ответ: $a = 5$. b) **на 3** Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму цифр числа $\overline{a3609a}$: $$a + 3 + 6 + 0 + 9 + a = 2a + 18$$ Так как слагаемое 18 делится на 3, вся сумма $2a + 18$ будет делиться на 3 в том и только в том случае, если $2a$ делится на 3. Число 2 взаимно просто с 3, значит, сама цифра $a$ должна делиться на 3. Среди цифр от 1 до 9 на 3 делятся: 3, 6, 9. Значит, $a = 3$, $a = 6$ или $a = 9$ (получаются числа $336093$, $636096$, $936099$). Ответ: $a = 3$; $6$; $9$. c) **на 11** Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11 (или равна нулю). Пронумеруем позиции цифр справа налево (от 1 до 6): * сумма цифр на нечётных местах (1-я, 3-я, 5-я): $a + 0 + 3 = a + 3$; * сумма цифр на чётных местах (2-я, 4-я, 6-я): $9 + 6 + a = a + 15$. Найдём разность этих сумм: $$(a + 15) - (a + 3) = a + 15 - a - 3 = 12$$ Разность не зависит от $a$ и равна 12. Так как 12 не делится на 11, то и само число $\overline{a3609a}$ ни при каком значении цифры $a$ не может делиться на 11. Ответ: невозможно. d) **на 4** Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Две последние цифры образуют двузначное число $\overline{9a}$, где $a$ принимает значения от 1 до 9: * 92 делится на 4 ($92 : 4 = 23$), следовательно, $a = 2$; * 96 делится на 4 ($96 : 4 = 24$), следовательно, $a = 6$. Остальные числа из девятого десятка на 4 не делятся. Получаем числа $236092$ и $636096$. Ответ: $a = 2$; $6$. e) **на 9** Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа равна: $$2a + 18$$ Так как 18 делится на 9, сумма будет кратна 9 тогда и только тогда, когда слагаемое $2a$ делится на 9. Поскольку числа 2 и 9 взаимно просты, цифра $a$ должна делиться на 9. Единственная ненулевая цифра, делящаяся на 9 — это $a = 9$. Получаем число: $936099$. Ответ: $a = 9$.