ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1559

**Формулировка признака делимости на 8:** Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8 (или если три его последние цифры — нули). **Доказательство:** 1. Если число состоит менее чем из четырёх цифр (однозначное, двузначное или трёхзначное), утверждение очевидно, так как само число совпадает с числом, образованным его последними цифрами. 2. Пусть натуральное число $N$ содержит четыре или более цифр. Любое такое число можно представить в виде: $$ N = 1000a + b $$ где: * $b$ — число, образованное тремя последними цифрами числа $N$ ($0 \le b \le 999$); * $a$ — число сотен, тысяч и более старших разрядов (число тысяч, содержащееся в числе $N$). Так как $1000$ делится на 8 ($1000 = 8 \cdot 125$), слагаемое $1000a$ делится на 8 при любом целом $a$: $$ 1000a = 8 \cdot (125a) $$ Применим свойства делимости суммы и разности: * Если число $b$ делится на 8, то сумма $N = 1000a + b$ делится на 8 как сумма двух чисел, каждое из которых кратно 8. * Наоборот, если число $N$ делится на 8, то разность $b = N - 1000a$ также делится на 8 как разность двух чисел, кратных 8. Таким образом, число $N$ делится на 8 тогда и только тогда, когда число $b$, образованное его тремя последними цифрами, делится на 8. Признак доказан.