ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1558

а) Преобразуем данное выражение, используя свойства степеней: $$ 3^{4n} + 4 = (3^4)^n + 4 = 81^n + 4 $$ Представим слагаемое $4$ как $-1 + 5$: $$ 81^n + 4 = (81^n - 1) + 5 $$ Разность $a^n - b^n$ при любом натуральном $n$ делится на $a - b$. Следовательно, выражение $81^n - 1 = 81^n - 1^n$ делится на $81 - 1 = 80$. Так как $80$ кратно $5$, то и выражение $81^n - 1$ делится на $5$. Число $5$ также делится на $5$. Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на $5$, делится на $5$. Значит, число $3^{4n} + 4$ делится на $5$ при любом $n \in \mathbb{N}$. *(Замечание: факт делимости также следует из того, что число $81^n$ при любом натуральном $n$ оканчивается цифрой $1$, а сумма $81^n + 4$ оканчивается цифрой $1 + 4 = 5$, то есть делится на $5$.)* Утверждение доказано. б) Число $9$ является нечётным. Произведение любого количества нечётных чисел нечётно, поэтому степень $9^{2n}$ является нечётным числом при любом $n \in \mathbb{N}$. Число $1$ также нечётно. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна, то есть делится на $2$. Следовательно, число $9^{2n} + 1$ делится на $2$ при любом $n \in \mathbb{N}$. Утверждение доказано. в) Преобразуем степени с помощью свойств $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ и $a^{xy} = (a^x)^y$: $$ 7^{2n+1} = 7^1 \cdot 7^{2n} = 7 \cdot (7^2)^n = 7 \cdot 49^n $$ $$ 2^{4n+2} = 2^2 \cdot 2^{4n} = 4 \cdot (2^4)^n = 4 \cdot 16^n $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ 7^{2n+1} + 2^{4n+2} = 7 \cdot 49^n + 4 \cdot 16^n $$ Выделим общее слагаемое, представив $4 \cdot 16^n$ как $11 \cdot 16^n - 7 \cdot 16^n$: $$ 7 \cdot 49^n + 4 \cdot 16^n = 7 \cdot 49^n - 7 \cdot 16^n + 11 \cdot 16^n = 7(49^n - 16^n) + 11 \cdot 16^n $$ Рассмотрим каждое слагаемое: 1. Выражение $49^n - 16^n$ делится на $49 - 16 = 33$ при любом $n \in \mathbb{N}$. Поскольку $33$ делится на $11$ ($33 = 11 \cdot 3$), то и $7(49^n - 16^n)$ делится на $11$. 2. Слагаемое $11 \cdot 16^n$ содержит множитель $11$, следовательно, делится на $11$. Так как оба слагаемых делятся на $11$, то и вся сумма делится на $11$. Значит, число $7^{2n+1} + 2^{4n+2}$ делится на $11$ при любом $n \in \mathbb{N}$. Утверждение доказано.