ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1560

Пусть $N$ — произвольное натуральное число. Обозначим через $b$ цифру единиц этого числа, а через $a$ — цифру его десятков ($a, b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$). Тогда любое число $N$ можно представить в виде: $$ N = 100k + 10a + b $$ где $k$ — целое неотрицательное число (количество сотен в числе $N$). Преобразуем выражение, выделив слагаемые, кратные $4$: $$ N = 100k + 8a + 2a + b = (100k + 8a) + (2a + b) = 4(25k + 2a) + (2a + b) $$ Слагаемое $4(25k + 2a)$ делится на $4$, так как содержит множитель $4$, а выражение в скобках $25k + 2a$ является целым числом. Докажем утверждение в обе стороны: 1. **Достаточность.** Пусть сумма цифры единиц и удвоенной цифры десятков делится на $4$, то есть $(2a + b)$ кратно $4$. Тогда число $N$ представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на $4$. По свойству делимости суммы, число $N$ также делится на $4$. 2. **Необходимость.** Пусть число $N$ делится на $4$. Выразим сумму $(2a + b)$: $$ 2a + b = N - 4(25k + 2a) $$ Так как уменьшаемое $N$ делится на $4$ и вычитаемое $4(25k + 2a)$ делится на $4$, то по свойству делимости разности их разность $(2a + b)$ также делится на $4$. Таким образом, число делится на $4$ тогда и только тогда, когда сумма цифры единиц и удвоенной цифры десятков делится на $4$. Что и требовалось доказать.