ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1520

По условию при делении числа $a$ на 7 получается остаток 2. Значит, число $a$ можно записать в виде: $a = 7k + 2$, где $k$ — целое число. а) Подставим выражение для $a$ в формулу $8a + 1$: $$ 8a + 1 = 8(7k + 2) + 1 = 56k + 16 + 1 = 56k + 17 $$ Представим число 17 в виде суммы слагаемого, кратного 7, и остатка: $17 = 14 + 3$. Тогда: $$ 56k + 17 = 56k + 14 + 3 = 7(8k + 2) + 3 $$ Так как $k$ — целое число, то выражение $8k + 2$ также является целым числом, а $0 \le 3 < 7$. Следовательно, остаток от деления числа $8a + 1$ на 7 равен 3. б) Подставим выражение для $a$ в формулу $a^2 + a + 1$: $$ a^2 + a + 1 = (7k + 2)^2 + (7k + 2) + 1 $$ Применим формулу квадрата суммы и раскроем скобки: $$ (7k + 2)^2 = 49k^2 + 28k + 4 $$ $$ a^2 + a + 1 = 49k^2 + 28k + 4 + 7k + 2 + 1 = 49k^2 + 35k + 7 $$ Вынесем общий множитель 7 за скобки: $$ 49k^2 + 35k + 7 = 7(7k^2 + 5k + 1) $$ Полученное выражение делится на 7 без остатка (нацело), то есть остаток равен 0. Ответ: а) 3; б) 0.