ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1522

а) По условию целое число $m$ при делении на 6 даёт остаток 1. Значит, его можно представить в виде: $m = 6k + 1$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Подставим это выражение вместо $m$ в формулу $m^2 - 2m + 19$: $$ (6k + 1)^2 - 2(6k + 1) + 19 $$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и распределительное свойство: $$ 36k^2 + 12k + 1 - 12k - 2 + 19 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 36k^2 + 18 $$ Вынесем общий множитель 18 за скобки: $$ 18(2k^2 + 1) $$ Так как $k$ — целое число, то выражение $2k^2 + 1$ также является целым числом. Следовательно, произведение $18(2k^2 + 1)$ делится на 18 нацело. Утверждение доказано. б) По условию целое число $m$ при делении на 8 даёт остаток 2. Значит, его можно представить в виде: $m = 8k + 2$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Подставим это выражение вместо $m$ в формулу $m^2 + 4m - 12$: $$ (8k + 2)^2 + 4(8k + 2) - 12 $$ Раскроем скобки: $$ 64k^2 + 32k + 4 + 32k + 8 - 12 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 64k^2 + 64k $$ Вынесем общий множитель 64 за скобки: $$ 64(k^2 + k) $$ Так как $k$ — целое число, то значение в скобках $k^2 + k$ также является целым числом. Следовательно, произведение $64(k^2 + k)$ делится на 64 нацело. Утверждение доказано.