ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1521

Так как целое число $m$ при делении на $8$ даёт остаток $3$, его можно представить в виде: $$ m = 8k + 3, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$ Подставим это выражение вместо $m$ в многочлен $m^2 + 3m + 2$: $$ m^2 + 3m + 2 = (8k + 3)^2 + 3(8k + 3) + 2 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (8k + 3)^2 = 64k^2 + 48k + 9 $$ $$ 3(8k + 3) = 24k + 9 $$ $$ m^2 + 3m + 2 = 64k^2 + 48k + 9 + 24k + 9 + 2 = 64k^2 + 72k + 20 $$ Выделим слагаемые, кратные $8$: $$ 64k^2 + 72k + 20 = 64k^2 + 72k + 16 + 4 = 8(8k^2 + 9k + 2) + 4 $$ Так как $k$ — целое число, то выражение $8k^2 + 9k + 2$ также является целым числом. Следовательно, число $8(8k^2 + 9k + 2)$ делится на $8$ без остатка, а число $4$ является остатком (так как $0 \le 4 < 8$). Ответ: 4.