ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1523

Предположим, что такое целое число $n$ существует. По условию задачи при делении на $12$ число $n$ даёт остаток $11$, значит, его можно представить в виде: $$ n = 12k + 11, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$ Также при делении на $18$ число $n$ даёт остаток $1$, то есть: $$ n = 18m + 1, \quad \text{где } m \in \mathbb{Z} $$ Приравняем полученные выражения: $$ 12k + 11 = 18m + 1 $$ Перенесём слагаемые с переменными в одну часть, а числовые слагаемые — в другую: $$ 18m - 12k = 11 - 1 $$ $$ 18m - 12k = 10 $$ Вынесем общий множитель $6$ за скобки в левой части уравнения: $$ 6(3m - 2k) = 10 $$ Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение $(3m - 2k)$ также является целым числом. Значит, левая часть равенства делится на $6$ без остатка. Однако правая часть уравнения равна $10$, а число $10$ на $6$ нацело не делится. Получили противоречие, следовательно, наше предположение неверно. Ответ: нет, не существует.