ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1517

а) При делении целого числа $n$ на $3$ остаток может быть равен $0$, $1$ или $2$. Значит, любое целое число можно представить в одном из трёх видов: $n = 3k$, $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — целое число. Рассмотрим квадрат числа $n$ в каждом случае: 1) Если $n = 3k$, то: $$ n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot (3k^2) $$ Число делится на $3$ нацело, остаток равен $0$. 2) Если $n = 3k + 1$, то: $$ n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 $$ Остаток при делении на $3$ равен $1$. 3) Если $n = 3k + 2$, то: $$ n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 $$ Остаток при делении на $3$ равен $1$. Таким образом, при делении квадрата целого числа на $3$ могут получиться остатки $0$ и $1$. б) При делении целого числа $n$ на $5$ остаток может принимать значения $0$, $1$, $2$, $3$ или $4$. Запишем число $n$ в одном из пяти возможных видов ($k$ — целое число) и возведём его в квадрат: 1) Если $n = 5k$, то: $$ n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5 \cdot (5k^2) $$ Остаток при делении на $5$ равен $0$. 2) Если $n = 5k + 1$, то: $$ n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1 $$ Остаток при делении на $5$ равен $1$. 3) Если $n = 5k + 2$, то: $$ n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4 $$ Остаток при делении на $5$ равен $4$. 4) Если $n = 5k + 3$, то: $$ n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 25k^2 + 30k + 5 + 4 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4 $$ Остаток при делении на $5$ равен $4$. 5) Если $n = 5k + 4$, то: $$ n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 25k^2 + 40k + 15 + 1 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1 $$ Остаток при делении на $5$ равен $1$. Таким образом, при делении квадрата целого числа на $5$ могут получиться остатки $0$, $1$ и $4$. Ответ: а) $0$ или $1$; б) $0$, $1$ или $4$.