ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1518

Пусть $n$ — произвольное целое число. При делении на 6 число $n$ может давать в остатке одно из чисел: $0, 1, 2, 3, 4$ или $5$. Тогда число $n$ можно представить в виде: $$ n = 6k + r $$ где $k$ — целое число, а $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Возведём число $n$ в квадрат: $$ n^2 = (6k + r)^2 = 36k^2 + 12kr + r^2 = 6(6k^2 + 2kr) + r^2 $$ Первое слагаемое $6(6k^2 + 2kr)$ делится на 6 без остатка. Следовательно, остаток от деления $n^2$ на 6 равен остатку от деления $r^2$ на 6. Рассмотрим все возможные значения остатка $r$: 1. Если $r = 0$, то $r^2 = 0^2 = 0$ — остаток от деления на 6 равен 0. 2. Если $r = 1$, то $r^2 = 1^2 = 1$ — остаток от деления на 6 равен 1. 3. Если $r = 2$, то $r^2 = 2^2 = 4$ — остаток от деления на 6 равен 4. 4. Если $r = 3$, то $r^2 = 3^2 = 9 = 6 \cdot 1 + 3$ — остаток от деления на 6 равен 3. 5. Если $r = 4$, то $r^2 = 4^2 = 16 = 6 \cdot 2 + 4$ — остаток от деления на 6 равен 4. 6. Если $r = 5$, то $r^2 = 5^2 = 25 = 6 \cdot 4 + 1$ — остаток от деления на 6 равен 1. Таким образом, при делении квадрата целого числа на 6 возможны только остатки 0, 1, 3 и 4. Остатки 2 и 5 получиться не могут, что и требовалось доказать.