ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1516

Пусть первое целое число равно $a$, а второе целое число равно $b$. По условию задачи, при делении на $7$ число $a$ даёт остаток $2$, а число $b$ даёт остаток $5$. Запишем эти числа в общем виде: $$ a = 7k + 2, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$ $$ b = 7m + 5, \quad \text{где } m \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим произведение этих чисел: $$ a \cdot b = (7k + 2)(7m + 5) $$ Раскроем скобки: $$ a \cdot b = 49km + 35k + 14m + 10 $$ Представим число $10$ в виде суммы $7 + 3$: $$ a \cdot b = 49km + 35k + 14m + 7 + 3 $$ Вынесем общий множитель $7$ за скобки у слагаемых, которые делятся на $7$: $$ a \cdot b = 7(7km + 5k + 2m + 1) + 3 $$ Так как $k$ и $m$ — целые числа, выражение в скобках $7km + 5k + 2m + 1$ также является целым числом. Число $3$ удовлетворяет условию для остатка ($0 \le 3 < 7$). Следовательно, при делении произведения этих чисел на $7$ получается остаток $3$. Ответ: 3.