ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1515

Пусть искомое натуральное число равно $n$, его неполное частное при делении на $17$ равно $q$, а остаток равен $r$. По определению деления с остатком число $n$ можно представить в виде: $$ n = 17q + r, \quad \text{где } 0 \le r < 17 $$ По условию остаток равен квадрату неполного частного, то есть $r = q^2$. Подставим это выражение в формулу деления с остатком: $$ n = 17q + q^2 $$ Так как остаток при делении на $17$ должен быть строго меньше делителя, получаем неравенство: $$ q^2 < 17 $$ Поскольку число $n$ натуральное ($n \ge 1$), неполное частное $q$ также должно быть натуральным числом ($q \ge 1$, так как при $q = 0$ получаем $n = 0$, что не является натуральным числом). Определим возможные значения целого неотрицательного числа $q$: * если $q = 1$, то $q^2 = 1 < 17$ — подходит; * если $q = 2$, то $q^2 = 4 < 17$ — подходит; * если $q = 3$, то $q^2 = 9 < 17$ — подходит; * если $q = 4$, то $q^2 = 16 < 17$ — подходит; * если $q \ge 5$, то $q^2 \ge 25 > 17$ — условие для остатка не выполняется. Найдем соответствующие значения числа $n$: 1. При $q = 1$: $$ n = 17 \cdot 1 + 1^2 = 17 + 1 = 18 $$ 2. При $q = 2$: $$ n = 17 \cdot 2 + 2^2 = 34 + 4 = 38 $$ 3. При $q = 3$: $$ n = 17 \cdot 3 + 3^2 = 51 + 9 = 60 $$ 4. При $q = 4$: $$ n = 17 \cdot 4 + 4^2 = 68 + 16 = 84 $$ Ответ: 18, 38, 60, 84.