ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1513

По теореме о делении с остатком целые числа $a$ и $b$ при делении на натуральное число $p$ можно представить в виде: $$ a = p \cdot q_1 + r_1, \quad \text{где } q_1 \in \mathbb{Z}, \ 0 \le r_1 < p $$ $$ b = p \cdot q_2 + r_2, \quad \text{где } q_2 \in \mathbb{Z}, \ 0 \le r_2 < p $$ Здесь $q_1$ и $q_2$ — неполные частные, а $r_1$ и $r_2$ — остатки от деления чисел $a$ и $b$ на $p$ соответственно. Составим разность чисел $a$ и $b$: $$ a - b = (p \cdot q_1 + r_1) - (p \cdot q_2 + r_2) = p(q_1 - q_2) + (r_1 - r_2) $$ 1. **Случай равных остатков:** пусть $r_1 = r_2$. Тогда $r_1 - r_2 = 0$, и разность принимает вид: $$ a - b = p(q_1 - q_2) $$ Так как $q_1$ и $q_2$ — целые числа, то их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Следовательно, произведение $p(q_1 - q_2)$ делится на $p$, а значит, и разность $a - b$ делится на $p$. 2. **Случай различных остатков:** пусть $r_1 \neq r_2$. Выразим разность остатков из равенства для $a - b$: $$ r_1 - r_2 = (a - b) - p(q_1 - q_2) $$ Предположим, что разность $a - b$ делится на $p$. Число $p(q_1 - q_2)$ также делится на $p$. Тогда разность двух чисел, кратных $p$, обязана делиться на $p$, то есть число $(r_1 - r_2)$ должно делиться на $p$. Однако по определению остатка: $$ 0 \le r_1 < p \quad \text{и} \quad 0 \le r_2 < p $$ Отсюда следует оценка для их разности: $$ -p < r_1 - r_2 < p $$ Так как по условию остатки различны ($r_1 \neq r_2$), разность $r_1 - r_2$ не равна нулю ($r_1 - r_2 \neq 0$). Единственное целое число из интервала $(-p; p)$, которое делится на $p$, — это $0$. Но $r_1 - r_2 \neq 0$, поэтому число $(r_1 - r_2)$ не может делиться на $p$. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно. Следовательно, разность $a - b$ не делится на $p$. Оба утверждения доказаны.