ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-6. вариант - 2

### 1. Упростите выражение: **а)** В сборнике самостоятельных работ Л. А. Александровой данное задание имеет вид $\frac{\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}$ *(в тексте условия показатель корня $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ ошибочно распознан как множитель $3$)*. Приведём решение для исходного задания сборника, а также для буквальной записи условия. * **Решение исходного задания из сборника:** $\frac{\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}$ Представим подкоренное выражение числителя в виде степени с рациональным показателем (при $x > 0$): $$ x\sqrt[3]{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{1 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} $$ Извлечём корень 4-й степени: $$ \sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}} = \left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} $$ Подставим полученный результат в дробь: $$ \frac{\sqrt[4]{x\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} = 1 $$ * **Решение по буквальной записи условия:** $\frac{\sqrt[4]{x \cdot \frac{3}{\sqrt[3]{x}}}}{3\sqrt[3]{x}}$ Преобразуем выражение под корнем в числителе: $$ x \cdot \frac{3}{\sqrt[3]{x}} = 3 \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}} = 3x^{1 - \frac{1}{3}} = 3x^{\frac{2}{3}} $$ Извлечём корень 4-й степени: $$ \sqrt[4]{3x^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[4]{3} \cdot \left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3} \cdot x^{\frac{1}{6}} $$ Разделим на знаменатель $3\sqrt[3]{x} = 3x^{\frac{1}{3}}$: $$ \frac{\sqrt[4]{3} \cdot x^{\frac{1}{6}}}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot x^{\frac{1}{6} - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot x^{-\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{3\sqrt[6]{x}} $$ **Ответ:** $1$ (по условию сборника) или $\frac{\sqrt[4]{3}}{3\sqrt[6]{x}}$ (по буквальной записи). --- **б)** В сборнике данное задание имеет вид $\frac{\sqrt[5]{y^4} - 9}{\sqrt[5]{y^2} - 3} - \sqrt[5]{y^2}$ *(показатель корня $5$ ошибочно продублирован в виде коэффициента $5$ перед каждым корнем)*. * **Решение исходного задания из сборника:** $\frac{\sqrt[5]{y^4} - 9}{\sqrt[5]{y^2} - 3} - \sqrt[5]{y^2}$ Заметим, что $\sqrt[5]{y^4} = \left(\sqrt[5]{y^2}\right)^2$ и $9 = 3^2$. Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов: $$ \sqrt[5]{y^4} - 9 = \left(\sqrt[5]{y^2} - 3\right)\left(\sqrt[5]{y^2} + 3\right) $$ Сократим дробь на общий множитель $\left(\sqrt[5]{y^2} - 3\right) \neq 0$: $$ \frac{\left(\sqrt[5]{y^2} - 3\right)\left(\sqrt[5]{y^2} + 3\right)}{\sqrt[5]{y^2} - 3} - \sqrt[5]{y^2} = \left(\sqrt[5]{y^2} + 3\right) - \sqrt[5]{y^2} = 3 $$ * **Решение по буквальной записи условия:** $\frac{5\sqrt[5]{y^4} - 9}{5\sqrt[5]{y^2} - 3} - 5\sqrt[5]{y^2}$ Пусть $t = \sqrt[5]{y^2}$, тогда выражение принимает вид: $$ \frac{5t^2 - 9}{5t - 3} - 5t = \frac{5t^2 - 9 - 5t(5t - 3)}{5t - 3} = \frac{5t^2 - 9 - 25t^2 + 15t}{5t - 3} = \frac{-20t^2 + 15t - 9}{5t - 3} $$ Возвращаясь к переменной $y$: $$ \frac{-20\sqrt[5]{y^4} + 15\sqrt[5]{y^2} - 9}{5\sqrt[5]{y^2} - 3} $$ **Ответ:** $3$ (по условию сборника) или $\frac{-20\sqrt[5]{y^4} + 15\sqrt[5]{y^2} - 9}{5\sqrt[5]{y^2} - 3}$ (по буквальной записи). --- ### 2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: В сборнике самостоятельных работ для 11 класса дробь имеет вид $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$ *(в записи $5\sqrt{8}$ число 5 является показателем корня)*. * **Решение исходного задания из сборника:** $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$ Представим число $8$ как $2^3$. Знаменатель равен $\sqrt[5]{2^3}$. Чтобы получить в знаменателе целое число, необходимо дополнить степень под корнем до $5$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[5]{2^{5 - 3}} = \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4}$: $$ \frac{10}{\sqrt[5]{8}} = \frac{10 \cdot \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{10\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{10\sqrt[5]{4}}{2} = 5\sqrt[5]{4} $$ * **Решение по буквальной записи условия:** $\frac{10}{5\sqrt{8}}$ Сократим дробь на $5$: $$ \frac{10}{5\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{8}} $$ Вынесем множитель из-под знака квадратного корня ($\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$): $$ \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ **Ответ:** $5\sqrt[5]{4}$ (по условию сборника) или $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (по буквальной записи).