ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-7. вариант - 1

1. Вычислите: а) $16^{\frac{1}{2}} + 27^{-\frac{1}{3}} + 81^{\frac{3}{4}} - 8^{\frac{12}{3}}$ Вычислим каждое слагаемое отдельно, представив основания в виде степеней простых чисел: 1) $16^{\frac{1}{2}} = (4^2)^{\frac{1}{2}} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4^1 = 4$; 2) $27^{-\frac{1}{3}} = (3^3)^{-\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$; 3) $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$; 4) $8^{\frac{12}{3}} = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} = 4096$. Подставим найденные значения: $$ 4 + \frac{1}{3} + 27 - 4096 = 31\frac{1}{3} - 4096 = -4064\frac{2}{3} $$ *(Примечание: если в показателе последнего слагаемого опечатка и имелось в виду $8^{\frac{2}{3}}$, то $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$, тогда результат равен $4 + \frac{1}{3} + 27 - 4 = 27\frac{1}{3}$)*. Ответ: $-4064\frac{2}{3}$ (или $27\frac{1}{3}$, если в условии $8^{\frac{2}{3}}$). б) $\frac{16^{0,4} \cdot 8^{\frac{1}{3}}}{4^{0,3}}$ Приведем все степени к общему основанию $2$: $16^{0,4} = (2^4)^{0,4} = 2^{4 \cdot 0,4} = 2^{1,6}$; $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$; $4^{0,3} = (2^2)^{0,3} = 2^{2 \cdot 0,3} = 2^{0,6}$. Подставим полученные степени в исходную дробь и применим правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: $$ \frac{2^{1,6} \cdot 2^1}{2^{0,6}} = 2^{1,6 + 1 - 0,6} = 2^2 = 4 $$ Ответ: $4$. --- 2. Упростите выражение: а) $(125x^{-6})^{-\frac{2}{3}}$ Применим свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ и степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ (125x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = 125^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^{-6})^{-\frac{2}{3}} $$ Преобразуем числовой множитель, представив $125$ как $5^3$: $$ 125^{-\frac{2}{3}} = (5^3)^{-\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $$ Преобразуем множитель с переменной: $$ (x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^{-6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = x^4 $$ Перемножим результаты: $$ \frac{1}{25} \cdot x^4 = \frac{x^4}{25} $$ Ответ: $\frac{x^4}{25}$ (или $0,04x^4$). б) $\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{2}}}$ При $x > 0$ упростим знаменатель дроби, сложив показатели степеней при одинаковом основании: $$ x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4} - \frac{2}{4}} = x^{-\frac{1}{4}} $$ Выполним деление, вычитая показатель степени знаменателя из показателя степени числителя: $$ \frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{-\frac{1}{4}}} = x^{\frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right)} = x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{4}} = x^1 = x $$ Ответ: $x$.