ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-6. вариант - 3

1. Упростите выражение: a) $\frac{b^{\frac{10}{9}} b^{\frac{3}{8}} b^2}{\sqrt[6]{b^5}}$ Представим корень в знаменателе в виде степени с дробным показателем: $$ \sqrt[6]{b^5} = b^{\frac{5}{6}} $$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются: $$ \frac{b^{\frac{10}{9}} \cdot b^{\frac{3}{8}} \cdot b^2}{b^{\frac{5}{6}}} = b^{\frac{10}{9} + \frac{3}{8} + 2 - \frac{5}{6}} $$ Приведем дроби в показателе к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел $9$, $8$ и $6$ равен $72$: $$ \frac{10}{9} = \frac{80}{72}, \quad \frac{3}{8} = \frac{27}{72}, \quad 2 = \frac{144}{72}, \quad \frac{5}{6} = \frac{60}{72} $$ Вычислим показатель степени: $$ \frac{80}{72} + \frac{27}{72} + \frac{144}{72} - \frac{60}{72} = \frac{80 + 27 + 144 - 60}{72} = \frac{191}{72} $$ Таким образом: $$ b^{\frac{191}{72}} $$ Ответ: $b^{\frac{191}{72}}$ (или $\sqrt[72]{b^{191}}$). --- б) $\frac{1 + a}{1 + \sqrt[3]{a}} - \sqrt[3]{a}$ Разложим числитель дроби по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, учитывая, что $a = (\sqrt[3]{a})^3$: $$ 1 + a = 1^3 + (\sqrt[3]{a})^3 = (1 + \sqrt[3]{a})\left(1 - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}\right) $$ Подставим разложение в дробь и выполним сокращение на $(1 + \sqrt[3]{a})$ при $a \neq -1$: $$ \frac{(1 + \sqrt[3]{a})\left(1 - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}\right)}{1 + \sqrt[3]{a}} - \sqrt[3]{a} = 1 - \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 1 - 2\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2} = (1 - \sqrt[3]{a})^2 $$ Ответ: $(1 - \sqrt[3]{a})^2$ (или $1 - 2\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}$). --- 2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{15x}{\sqrt[4]{5x}}$. Область допустимых значений: $5x > 0 \implies x > 0$. Чтобы избавиться от корня четвертой степени в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[4]{(5x)^3}$: $$ \frac{15x}{\sqrt[4]{5x}} = \frac{15x \cdot \sqrt[4]{(5x)^3}}{\sqrt[4]{5x} \cdot \sqrt[4]{(5x)^3}} = \frac{15x \cdot \sqrt[4]{(5x)^3}}{\sqrt[4]{(5x)^4}} $$ Так как $x > 0$, получаем $\sqrt[4]{(5x)^4} = 5x$: $$ \frac{15x \cdot \sqrt[4]{(5x)^3}}{5x} = 3\sqrt[4]{(5x)^3} = 3\sqrt[4]{125x^3} $$ Ответ: $3\sqrt[4]{125x^3}$.