ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-6. вариант - 4

1. Упростим выражения: а) Перейдем к степеням с дробными показателями (при $a > 0$): Внутри корня шестой степени: $$ a \cdot \sqrt[3]{a^{-1}} \cdot \sqrt[9]{a^2} = a^1 \cdot a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{9}} $$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$ 1 - \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9} $$ Таким образом, подкоренное выражение равно $a^{\frac{8}{9}}$. Извлечем корень шестой степени: $$ \sqrt[6]{a^{\frac{8}{9}}} = \left(a^{\frac{8}{9}}\right)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{8}{9 \cdot 6}} = a^{\frac{8}{54}} = a^{\frac{4}{27}} = \sqrt[27]{a^4} $$ Ответ: $\sqrt[27]{a^4}$ (или $a^{\frac{4}{27}}$). б) Разложим числитель дроби по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, представив $8 = 2^3$ и $c = (\sqrt[3]{c})^3$: $$ 8 - c = 2^3 - (\sqrt[3]{c})^3 = (2 - \sqrt[3]{c})\left(4 + 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}\right) $$ Подставим разложение в исходное выражение и сократим дробь при $c \neq 8$: $$ \frac{(2 - \sqrt[3]{c})\left(4 + 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}\right)}{2 - \sqrt[3]{c}} + 2\sqrt[3]{c} = 4 + 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2} + 2\sqrt[3]{c} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \sqrt[3]{c^2} + 4\sqrt[3]{c} + 4 $$ Заметим, что полученный трехчлен можно свернуть по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $$ \sqrt[3]{c^2} + 4\sqrt[3]{c} + 4 = \left(\sqrt[3]{c} + 2\right)^2 $$ Ответ: $\left(\sqrt[3]{c} + 2\right)^2$ (или $\sqrt[3]{c^2} + 4\sqrt[3]{c} + 4$). --- 2. Чтобы освободиться от знака корня третьей степени в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[3]{(7y)^2} = \sqrt[3]{49y^2}$: $$ \frac{28y^2}{\sqrt[3]{7y}} = \frac{28y^2 \cdot \sqrt[3]{(7y)^2}}{\sqrt[3]{7y} \cdot \sqrt[3]{(7y)^2}} = \frac{28y^2\sqrt[3]{49y^2}}{\sqrt[3]{(7y)^3}} = \frac{28y^2\sqrt[3]{49y^2}}{7y} $$ Сократим дробь на $7y$ (при $y \neq 0$): $$ \frac{28y^2\sqrt[3]{49y^2}}{7y} = 4y\sqrt[3]{49y^2} $$ Ответ: $4y\sqrt[3]{49y^2}$.