ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-5. Вариант - 4

1. Вынесем множитель из-под знака корня: а) $\sqrt[3]{40c^5d^{-8}}$, $c \geqslant 0$, $d > 0$. Разложим числовой коэффициент и степени переменных на множители, содержащие кубы: * $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$; * $c^5 = c^3 \cdot c^2$; * $d^{-8} = d^{-9} \cdot d^1 = (d^{-3})^3 \cdot d$. Подставим полученные выражения под знак корня: $$ \sqrt[3]{40c^5d^{-8}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5 \cdot c^3 \cdot c^2 \cdot d^{-9} \cdot d} = \sqrt[3]{(2 \cdot c \cdot d^{-3})^3 \cdot 5c^2d} $$ Извлекая корень нечётной (3-й) степени, получаем: $$ 2cd^{-3}\sqrt[3]{5c^2d} = \frac{2c}{d^3}\sqrt[3]{5c^2d} $$ Ответ: $\frac{2c}{d^3}\sqrt[3]{5c^2d}$ (или $2cd^{-3}\sqrt[3]{5c^2d}$). б) $\sqrt[4]{256x^{12}y^7}$. Поскольку корень имеет чётную степень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, следовательно, $y \geqslant 0$ (при $y < 0$ выражение $y^7 < 0$, что невозможно под корнем чётной степени). Знак переменной $x$ может быть любым. Разложим подкоренное выражение на множители с показателями, кратными 4: * $256 = 4^4$; * $x^{12} = (x^3)^4$; * $y^7 = y^4 \cdot y^3$. Тогда: $$ \sqrt[4]{256x^{12}y^7} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^3)^4 \cdot y^4 \cdot y^3} = |4| \cdot |x^3| \cdot |y| \cdot \sqrt[4]{y^3} $$ Учитывая, что $y \geqslant 0$, раскрываем $|y| = y$: $$ 4|x^3|y\sqrt[4]{y^3} = 4|x|^3y\sqrt[4]{y^3} $$ Ответ: $4|x^3|y\sqrt[4]{y^3}$. --- 2. Внесите множитель под знак корня: $2d\sqrt[6]{3d^{-4}}$, $d < 0$. По условию $d < 0$, поэтому коэффициент $2d < 0$. При внесении отрицательного множителя под корень чётной степени знак «минус» остаётся перед корнем: $$ 2d = -|2d| = -\sqrt[6]{(2d)^6} $$ Вносим модуль множителя под знак корня: $$ 2d\sqrt[6]{3d^{-4}} = -\sqrt[6]{(2d)^6 \cdot 3d^{-4}} = -\sqrt[6]{2^6 \cdot d^6 \cdot 3d^{-4}} = -\sqrt[6]{64 \cdot 3 \cdot d^{6 - 4}} = -\sqrt[6]{192d^2} $$ Ответ: $-\sqrt[6]{192d^2}$. --- 3. Расположим числа $\sqrt[10]{6}$; $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2}}$; $\sqrt[6]{3}$ в порядке убывания. Сначала упростим второе число, внеся множитель 2 под внутренний кубический корень: $$ \sqrt[5]{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[5 \cdot 3]{2^4} = \sqrt[15]{16} $$ Теперь приведём все три корня к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 10, 15 и 6 равно 30: $$ \sqrt[10]{6} = \sqrt[10 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[30]{216} $$ $$ \sqrt[15]{16} = \sqrt[15 \cdot 2]{16^2} = \sqrt[30]{256} $$ $$ \sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[30]{243} $$ Сравним подкоренные выражения: $$ 256 > 243 > 216 $$ Следовательно: $$ \sqrt[30]{256} > \sqrt[30]{243} > \sqrt[30]{216} \implies \sqrt[5]{2\sqrt[3]{2}} > \sqrt[6]{3} > \sqrt[10]{6} $$ Ответ: $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2}}$; $\sqrt[6]{3}$; $\sqrt[10]{6}$.