ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-5. Вариант - 3

1. Вынесите множитель из-под знака корня: а) $\sqrt[4]{162y^{10}z^{-5}}$, где $y \geqslant 0$, $z > 0$. Разложим числовой коэффициент и степени переменных на множители, содержащие наибольшие возможные степени, кратные показателю корня 4: $$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$$ $$y^{10} = y^8 \cdot y^2 = (y^2)^4 \cdot y^2$$ $$z^{-5} = z^{-4} \cdot z^{-1} = (z^{-1})^4 \cdot z^{-1} = \frac{1}{z^4 \cdot z}$$ Подставим эти разложения в подкоренное выражение: $$\sqrt[4]{162y^{10}z^{-5}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (y^2)^4 \cdot z^{-4} \cdot 2y^2z^{-1}} = 3 \cdot |y^2| \cdot |z^{-1}| \cdot \sqrt[4]{2y^2z^{-1}}$$ Так как по условию $y \geqslant 0$ и $z > 0$, модули раскрываются однозначно: $|y^2| = y^2$, $|z^{-1}| = \frac{1}{z}$. Получаем: $$\frac{3y^2}{z}\sqrt[4]{\frac{2y^2}{z}}$$ *(Примечание: если избавиться от дроби под знаком корня, домножив числитель и знаменатель на $z^3$, выражение примет вид $\frac{3y^2}{z^2}\sqrt[4]{2y^2z^3}$)*. Ответ: $\frac{3y^2}{z}\sqrt[4]{\frac{2y^2}{z}}$ (или $\frac{3y^2}{z^2}\sqrt[4]{2y^2z^3}$). б) $\sqrt[6]{64a^7b^6}$. Корень четной шестой степени определен только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: $64a^7b^6 \geqslant 0$. Поскольку $b^6 \geqslant 0$, должно выполняться условие $a^7 \geqslant 0$, откуда $a \geqslant 0$. Значит, $|a| = a$. Разложим выражение на множители: $$\sqrt[6]{64a^7b^6} = \sqrt[6]{2^6 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^6} = |2| \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{a} = 2a|b|\sqrt[6]{a}$$ Знак переменной $b$ в условии не оговорен, поэтому: - если $b \geqslant 0$, то выражение равно $2ab\sqrt[6]{a}$; - если $b < 0$, то выражение равно $-2ab\sqrt[6]{a}$. Ответ: $2a|b|\sqrt[6]{a}$. --- 2. Внесите множитель под знак корня: $3c\sqrt[4]{2c^2}$, $c \leqslant 0$. Так как $c \leqslant 0$, множитель $3c$ является неположительным числом ($3c \leqslant 0$). При внесении отрицательного множителя под корень четной степени знак «минус» сохраняется перед корнем, а под корень вносится его модуль: $$3c = -|3c| = -\sqrt[4]{(3c)^4} = -\sqrt[4]{81c^4}$$ Выполним внесение под знак радикала: $$3c\sqrt[4]{2c^2} = -\sqrt[4]{81c^4 \cdot 2c^2} = -\sqrt[4]{162c^6}$$ Ответ: $-\sqrt[4]{162c^6}$. --- 3. Расположите числа $\sqrt[4]{3}$, $\sqrt[6]{5}$, $\sqrt[8]{2\sqrt{7}}$ в порядке возрастания. Сначала упростим третье число, внеся множитель под внутренний квадратный корень: $$\sqrt[8]{2\sqrt{7}} = \sqrt[8]{\sqrt{2^2 \cdot 7}} = \sqrt[8]{\sqrt{28}} = \sqrt[16]{28}$$ Приведем все три корня к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей $4$, $6$ и $16$ равно $48$: 1) $\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{12}{48}} = \sqrt[48]{3^{12}}$ $$3^{12} = (3^4)^3 = 81^3 = 531\,441$$ 2) $\sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}} = 5^{\frac{8}{48}} = \sqrt[48]{5^8}$ $$5^8 = (5^4)^2 = 625^2 = 390\,625$$ 3) $\sqrt[16]{28} = 28^{\frac{1}{16}} = 28^{\frac{3}{48}} = \sqrt[48]{28^3}$ $$28^3 = 784 \cdot 28 = 21\,952$$ Сравним подкоренные выражения: $$21\,952 < 390\,625 < 531\,441$$ Следовательно: $$\sqrt[48]{21\,952} < \sqrt[48]{390\,625} < \sqrt[48]{531\,441}$$ Ответ: $\sqrt[8]{2\sqrt{7}};\; \sqrt[6]{5};\; \sqrt[4]{3}$.