ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-37. вариант - 1

### 1. Построение графика уравнения $(2x + y - 3)^2 + (y - x^2)^4 = 0$ Так как степень с четным показателем принимает только неотрицательные значения при любых действительных значениях переменных, то $(2x + y - 3)^2 \geqslant 0$ и $(y - x^2)^4 \geqslant 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} 2x + y - 3 = 0, \\ y - x^2 = 0. \end{cases} $$ Выразим $y$ из обоих уравнений: $$ \begin{cases} y = 3 - 2x, \\ y = x^2. \end{cases} $$ Приравняем правые части: $$ x^2 = 3 - 2x $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $y$: - при $x_1 = 1$: $y_1 = 1^2 = 1$; - при $x_2 = -3$: $y_2 = (-3)^2 = 9$. Таким образом, графиком данного уравнения является множество, состоящее из двух изолированных точек: $(1; 1)$ и $(-3; 9)$. **Построение:** 1. На координатной плоскости строим оси $Ox$ и $Oy$. 2. Отмечаем две точки с координатами $(1; 1)$ и $(-3; 9)$. **Ответ:** графиком уравнения являются две точки $(1; 1)$ и $(-3; 9)$. --- ### 2. Построение графика уравнения $y = \sqrt{16 - x^2}$ и вычисление площади фигуры 1. **Исследование уравнения:** По определению арифметического квадратного корня: - подкоренное выражение неотрицательно: $16 - x^2 \geqslant 0 \iff x^2 \leqslant 16 \iff -4 \leqslant x \leqslant 4$; - значения функции неотрицательны: $y \geqslant 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $y \geqslant 0$: $$ y^2 = 16 - x^2 \iff x^2 + y^2 = 16 $$ Уравнение $x^2 + y^2 = 4^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 4$. С учетом условия $y \geqslant 0$, графиком исходного уравнения является верхняя полуокружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $R = 4$. 2. **Построение графика:** - Строим полуокружность радиуса $4$ с центром в $(0; 0)$, расположенную в верхней полуплоскости, с концами в точках $(-4; 0)$ и $(4; 0)$ и наивысшей точкой $(0; 4)$. 3. **Вычисление площади:** Фигура, ограниченная данной полуокружностью и осью $Ox$, представляет собой полукруг радиуса $R = 4$. Площадь полукруга равна половине площади соответствующего круга: $$ S = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 4^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 16 = 8\pi $$ **Ответ:** график — полуокружность с центром $(0; 0)$ и радиусом $4$, лежащая в полуплоскости $y \geqslant 0$; площадь фигуры равна $8\pi$. --- ### 3. Построение множества точек, удовлетворяющих системе неравенств $$ \begin{cases} x + y < 2, \\ y - 2x > 4 \end{cases} $$ Преобразуем неравенства, выразив $y$: $$ \begin{cases} y < -x + 2, \\ y > 2x + 4. \end{cases} $$ 1. **Построение границ:** - Прямая $y = -x + 2$: проходит через точки $(0; 2)$ и $(2; 0)$. Так как неравенство строгое ($<$), прямую проводим пунктирной линией. Неравенству $y < -x + 2$ соответствует открытая полуплоскость, расположенная ниже этой прямой. - Прямая $y = 2x + 4$: проходит через точки $(0; 4)$ и $(-2; 0)$. Так как неравенство строгое ($>$), прямую проводим пунктирной линией. Неравенству $y > 2x + 4$ соответствует открытая полуплоскость, расположенная выше этой прямой. 2. **Точка пересечения граничных прямых:** $$ -x + 2 = 2x + 4 \iff 3x = -2 \iff x = -\frac{2}{3} $$ $$ y = -\left(-\frac{2}{3}\right) + 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Прямые пересекаются в точке $\left(-\frac{2}{3}; 2\frac{2}{3}\right)$. 3. **Множество решений системы:** Решением системы является область пересечения двух полуплоскостей — внутренность плоского угла, образованного данными пунктирными прямыми (область, находящаяся одновременно ниже прямой $y = -x + 2$ и выше прямой $y = 2x + 4$). *Проверочная точка:* точка $(-2; 2)$ удовлетворяет системе: $$ \begin{cases} -2 + 2 = 0 < 2, \\ 2 - 2(-2) = 6 > 4, \end{cases} $$ следовательно, заштриховывается область, содержащая точку $(-2; 2)$. Сами границы (пунктирные прямые) в искомое множество не входят.