ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-37. вариант - 2

1. Преобразуем уравнение: $$(3x - y + 2)^4 + (xy - 3x)^2 = 0$$ Так как четная степень любого действительного числа неотрицательна, то $(3x - y + 2)^4 \ge 0$ и $(xy - 3x)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$\begin{cases} 3x - y + 2 = 0, \\ xy - 3x = 0. \end{cases}$$ Разложим на множители второе уравнение системы: $$x(y - 3) = 0 \iff x = 0 \quad \text{или} \quad y = 3$$ Рассмотрим два случая: 1) Если $x = 0$, подставим это значение в первое уравнение: $$3 \cdot 0 - y + 2 = 0 \implies y = 2$$ Получаем точку $(0; 2)$. 2) Если $y = 3$, подставим это значение в первое уравнение: $$3x - 3 + 2 = 0 \implies 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$$ Получаем точку $\left(\frac{1}{3}; 3\right)$. Графиком данного уравнения является множество, состоящее из двух изолированных точек: $(0; 2)$ и $\left(\frac{1}{3}; 3\right)$. Для построения графика на координатной плоскости отмечают точки с координатами $(0; 2)$ и $\left(\frac{1}{3}; 3\right)$. Ответ: график состоит из двух точек $(0; 2)$ и $\left(\frac{1}{3}; 3\right)$. --- 2. Дано уравнение: $$x = -\sqrt{9 - y^2}$$ 1) Найдем область допустимых значений и свойства переменных: - Подкоренное выражение неотрицательно: $9 - y^2 \ge 0 \iff y^2 \le 9 \iff -3 \le y \le 3$. - Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, следовательно, $x \le 0$. 2) Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $x \le 0$: $$x^2 = 9 - y^2 \iff x^2 + y^2 = 9$$ Уравнение $x^2 + y^2 = 3^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 3$. С учетом условия $x \le 0$ графиком исходного уравнения является левая полуокружность радиуса $R = 3$ с центром в точке $(0; 0)$ и концами в точках $(0; -3)$ и $(0; 3)$. 3) Фигура, ограниченная данной полуокружностью и осью $Oy$ (отрезком оси от $y = -3$ до $y = 3$), представляет собой полукруг радиуса $R = 3$. Вычислим площадь этого полукруга: $$S = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2} = 4,5\pi$$ Ответ: графиком является полуокружность $x^2 + y^2 = 9$ при $x \le 0$; $S = 4,5\pi$. --- 3. Построим множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $$\begin{cases} x - y > 3, \\ y + 0,5x > 3 \end{cases}$$ Выразим переменную $y$ в каждом неравенстве: $$\begin{cases} y < x - 3, \\ y > -0,5x + 3 \end{cases}$$ 1) Построим граничные прямые: - Прямая $y = x - 3$ проходит через точки $(3; 0)$ и $(0; -3)$. Так как неравенство строгое ($<$), проводим прямую пунктирной линией. Неравенству $y < x - 3$ соответствует открытая полуплоскость, расположенная ниже этой прямой. - Прямая $y = -0,5x + 3$ проходит через точки $(0; 3)$ и $(6; 0)$. Неравенство строгое ($>$), поэтому прямую также проводим пунктирной линией. Неравенству $y > -0,5x + 3$ соответствует открытая полуплоскость, расположенная выше этой прямой. 2) Найдем точку пересечения граничных прямых: $$x - 3 = -0,5x + 3$$ $$1,5x = 6 \implies x = 4$$ $$y = 4 - 3 = 1$$ Прямые пересекаются в точке $(4; 1)$. 3) Множество решений системы — это пересечение двух найденных полуплоскостей. Оно представляет собой внутреннюю область угла с вершиной в точке $(4; 1)$, расположенную правее этой точки (одновременно ниже прямой $y = x - 3$ и выше прямой $y = -0,5x + 3$). Сами пунктирные прямые и точка их пересечения $(4; 1)$ в искомое множество не входят.