ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-36. вариант - 2

### 1. Дано неравенство: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} \geqslant x + 6 $$ Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x+1}$ — показательная функция с основанием $0 < \frac{1}{4} < 1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. $g(x) = x + 6$ — линейная функция с угловым коэффициентом $k = 1 > 0$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Подбором находим этот корень: При $x = -2$: $$ f(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2+1} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4 $$ $$ g(-2) = -2 + 6 = 4 $$ Равенство $f(-2) = g(-2)$ верно, значит, $x = -2$ — единственный корень уравнения. Следовательно: - при $x \leqslant -2$ выполняется неравенство $f(x) \geqslant f(-2) = 4$, а $g(x) \leqslant g(-2) = 4$, откуда $f(x) \geqslant g(x)$; - при $x > -2$ выполняется $f(x) < 4$ и $g(x) > 4$, откуда $f(x) < g(x)$. Таким образом, решением неравенства является промежуток: $$ x \in (-\infty; -2] $$ Наибольшим целым числом из этого промежутка является $-2$. Ответ: $-2$. --- ### 2. Дано неравенство: $$ \log_3 x + \log_x 3 - 2,5 \geqslant 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1. \end{cases} $$ Используем формулу перехода к новому основанию $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$: $$ \log_3 x + \frac{1}{\log_3 x} - 2,5 \geqslant 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$, причём $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$). Получаем дробно-рациональное неравенство: $$ t + \frac{1}{t} - \frac{5}{2} \geqslant 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2t^2 - 5t + 2}{2t} \geqslant 0 $$ Разложим числитель на множители: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \frac{2(t - 2)\left(t - \frac{1}{2}\right)}{2t} \geqslant 0 \iff \frac{\left(t - \frac{1}{2}\right)(t - 2)}{t} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: - нули числителя: $t = \frac{1}{2}$, $t = 2$; - нуль знаменателя: $t = 0$. Знаки выражения на промежутках: - при $t \in (-\infty; 0)$ знак «$-$»; - при $t \in \left(0; \frac{1}{2}\right]$ знак «$+$»; - при $t \in \left[\frac{1}{2}; 2\right]$ знак «$-$»; - при $t \in [2; +\infty)$ знак «$+$». Следовательно, решение относительно $t$: $$ \left[ \begin{aligned} & 0 < t \leqslant \frac{1}{2}, \\ & t \geqslant 2. \end{aligned} \right. $$ Выполним обратную замену $t = \log_3 x$: 1) Двойное неравенство: $$ 0 < \log_3 x \leqslant \frac{1}{2} $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенств сохраняется: $$ 3^0 < x \leqslant 3^{\frac{1}{2}} $$ $$ 1 < x \leqslant \sqrt{3} $$ 2) Неравенство: $$ \log_3 x \geqslant 2 $$ $$ x \geqslant 3^2 $$ $$ x \geqslant 9 $$ Все полученные значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$). Объединяя решения, получаем: $$ x \in (1; \sqrt{3}] \cup [9; +\infty) $$ Ответ: $(1; \sqrt{3}] \cup [9; +\infty)$.