ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-37. вариант - 3

### 1. Построение графика уравнения $\left(\sqrt{x-4} + y\right)^2 + |x + y| = 0$ Левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $$\left(\sqrt{x-4} + y\right)^2 \geqslant 0 \quad \text{и} \quad |x + y| \geqslant 0$$ Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$\begin{cases} \sqrt{x-4} + y = 0, \\ x + y = 0. \end{cases}$$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$x - 4 \geqslant 0 \implies x \geqslant 4$$ 2. Из второго уравнения выразим переменную $y$: $$y = -x$$ 3. Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $$\sqrt{x-4} + (-x) = 0$$ $$\sqrt{x-4} = x$$ Так как $x \geqslant 4$, обе части уравнения неотрицательны. Возведём обе части в квадрат: $$x - 4 = x^2$$ $$x^2 - x + 4 = 0$$ 4. Найдём дискриминант полученного квадратного уравнения: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$$ Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система не имеет решений. **Ответ:** График уравнения не содержит ни одной точки (множество точек пусто). --- ### 2. Построение графика уравнения $|y| = -\sqrt{9 - x^2}$ и нахождение площади фигуры 1. Исследуем значения левой и правой частей уравнения: - Левая часть содержит модуль, следовательно, $|y| \geqslant 0$ при любых $y \in \mathbb{R}$. - Правая часть содержит арифметический квадратный корень со знаком «минус», следовательно, $-\sqrt{9 - x^2} \leqslant 0$ при всех $x$ из области определения ($9 - x^2 \geqslant 0 \iff -3 \leqslant x \leqslant 3$). 2. Равенство неотрицательного и неположительного выражений возможно только в случае, когда обе части одновременно равны нулю: $$\begin{cases} |y| = 0, \\ -\sqrt{9 - x^2} = 0. \end{cases} \iff \begin{cases} y = 0, \\ 9 - x^2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 0, \\ x = \pm 3. \end{cases}$$ Таким образом, графиком данного уравнения являются всего две изолированные точки на оси абсцисс: $$A(-3; 0) \quad \text{и} \quad B(3; 0)$$ Так как график состоит лишь из двух точек, он не образует замкнутой линии и не ограничивает плоскую геометрическую фигуру. Площадь такой «фигуры» равна $0$. *Примечание (в случае опечатки в условии):* Если в условии знак «минус» перед корнем отсутствует и уравнение имеет вид $|y| = \sqrt{9 - x^2}$, то: $$y^2 = 9 - x^2 \iff x^2 + y^2 = 9$$ Графиком такого уравнения является окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 3$. Фигура, ограниченная этим графиком, — круг радиуса $R = 3$, а её площадь вычисляется по формуле: $$S = \pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$$ **Ответ:** График состоит из двух точек $(-3; 0)$ и $(3; 0)$; фигура не ограничена (площадь равна $0$). При отсутствии минуса в условии: график — окружность $x^2 + y^2 = 9$, площадь круга равна $9\pi$. --- ### 3. Построение множества точек, удовлетворяющих системе неравенств $$\begin{cases} y < x^2 - 4x + 3, \\ y > x - 1. \end{cases}$$ 1. **Первое неравенство: $y < x^2 - 4x + 3$.** - Границей области является парабола $y = x^2 - 4x + 3$. - Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). - Координаты вершины параболы: $$x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$y_{\text{в}} = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ Вершина находится в точке $(2; -1)$. - Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 3$$ Точки: $(1; 0)$ и $(3; 0)$. - Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $(0; 3)$. - Так как неравенство строгое ($<$), линия параболы изображается **пунктиром**. Решением неравенства является область, лежащая **ниже** параболы. 2. **Второе неравенство: $y > x - 1$.** - Границей области является прямая $y = x - 1$. - Построим её по двум точкам: $(0; -1)$ и $(1; 0)$. - Так как неравенство строгое ($>$), прямая изображается **пунктиром**. Решением неравенства является область, лежащая **выше** прямой. 3. **Точки пересечения границ:** Приравняем правые части уравнений границ: $$x^2 - 4x + 3 = x - 1$$ $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ $$(x - 1)(x - 4) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 4$$ Найдём соответствующие ординаты: - при $x = 1$: $y = 1 - 1 = 0 \implies (1; 0)$; - при $x = 4$: $y = 4 - 1 = 3 \implies (4; 3)$. 4. **Определение общей области:** Условиям $y < x^2 - 4x + 3$ и $y > x - 1$ одновременно удовлетворяют точки, для которых выполняется двойное неравенство: $$x - 1 < y < x^2 - 4x + 3$$ Такое неравенство имеет смысл только тогда, когда $x - 1 < x^2 - 4x + 3$, то есть при $x < 1$ или $x > 4$. Таким образом, искомое множество точек состоит из двух бесконечных областей, расположенных между прямой и ветвями параболы: 1. Левая область: при $x < 1$, лежащая выше прямой $y = x - 1$ и ниже левой ветви параболы (содержит, например, точку $(0; 0)$); 2. Правая область: при $x > 4$, лежащая выше прямой $y = x - 1$ и ниже правой ветви параболы (содержит, например, точку $(5; 6)$). Сами линии границ (парабола и прямая), а также точки их пересечения $(1; 0)$ и $(4; 3)$ в решение не входят и выкалываются (изображаются пунктиром). **Ответ:** Множество точек представляет собой объединение двух открытых областей, расположенных строго выше пунктирной прямой $y = x - 1$ и строго ниже пунктирной параболы $y = x^2 - 4x + 3$ (при $x < 1$ и при $x > 4$).