ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-37. вариант - 4

### Задание 1 Дано уравнение: $$ |x - y| + (y - x^3)^4 = 0 $$ По свойствам модуля и четной степени для любых действительных чисел $x$ и $y$ справедливы неравенства: $$ |x - y| \ge 0 \quad \text{и} \quad (y - x^3)^4 \ge 0 $$ Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} |x - y| = 0, \\ (y - x^3)^4 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 0, \\ y - x^3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = x, \\ y = x^3 \end{cases} $$ Подставим $y = x$ во второе уравнение: $$ x^3 = x $$ $$ x^3 - x = 0 $$ $$ x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Отсюда находим значения переменной $x$ и соответствующие значения $y = x$: 1. $x_1 = 0 \implies y_1 = 0$; 2. $x_2 = 1 \implies y_2 = 1$; 3. $x_3 = -1 \implies y_3 = -1$. **Построение графика:** Графиком данного уравнения является множество, состоящее из трех изолированных точек на координатной плоскости: $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$. **Ответ:** три точки $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$. --- ### Задание 2 Дано уравнение: $$ |x| = -\sqrt{16 - y^2} $$ 1. **Анализ уравнения в точности по условию:** Левая часть уравнения неотрицательна: $|x| \ge 0$. Правая часть определена при $16 - y^2 \ge 0$ (то есть $-4 \le y \le 4$) и неположительна: $-\sqrt{16 - y^2} \le 0$. Равенство неотрицательной и неположительной величин возможно только в случае, когда обе части одновременно равны нулю: $$ \begin{cases} |x| = 0, \\ -\sqrt{16 - y^2} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 0, \\ y^2 = 16 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 0, \\ y = \pm 4 \end{cases} $$ В этом случае графиком уравнения являются всего две точки: $(0; 4)$ и $(0; -4)$. Две точки не ограничивают плоскую фигуру (ее площадь равна $0$). 2. **Анализ с учетом опечатки в условии (знак «минус» перед корнем отсутствует в оригинале сборника):** $$ |x| = \sqrt{16 - y^2} $$ Область допустимых значений: $16 - y^2 \ge 0 \iff y^2 \le 16 \iff -4 \le y \le 4$. Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем обе части в квадрат: $$ |x|^2 = \left(\sqrt{16 - y^2}\right)^2 $$ $$ x^2 = 16 - y^2 $$ $$ x^2 + y^2 = 16 $$ Полученное уравнение $x^2 + y^2 = 4^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 4$. **Построение графика:** Строится окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $R = 4$, проходящая через точки $(4; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$, $(0; -4)$. **Вычисление площади:** График ограничивает фигуру, являющуюся кругом радиуса $R = 4$. Площадь круга вычисляется по формуле: $$ S = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi $$ **Ответ:** график — окружность $x^2 + y^2 = 16$; площадь ограниченной им фигуры $S = 16\pi$ (при буквальном прочтении условия с минусом — две точки $(0; \pm 4)$, площадь равна $0$). --- ### Задание 3 Дана система неравенств: $$ \begin{cases} y < -x^2 + 4x + 3, \\ y > x + 1 \end{cases} $$ 1. **Первое неравенство: $y < -x^2 + 4x + 3$** - Границей области является парабола $y = -x^2 + 4x + 3$. Так как знак неравенства строгий ($<$), линия параболы наносится **пунктиром**. - Ветви параболы направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$. - Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 $$ $$ y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 3 = -4 + 8 + 3 = 7 $$ Вершина находится в точке $(2; 7)$. - Дополнительные точки для построения: - при $x = 0$: $y = 3$; - при $x = 1$: $y = -(1)^2 + 4(1) + 3 = 6$; - при $x = 3$: $y = -(3)^2 + 4(3) + 3 = 6$; - при $x = 4$: $y = 3$. - Неравенство $y < -x^2 + 4x + 3$ задает область, расположенную **под** параболой. 2. **Второе неравенство: $y > x + 1$** - Границей области является прямая $y = x + 1$. Так как знак неравенства строгий ($>$), линия прямой наносится **пунктиром**. - Точки для построения прямой: $(0; 1)$, $(-1; 0)$, $(1; 2)$. - Неравенство $y > x + 1$ задает полуплоскость, расположенную **выше** прямой. 3. **Точки пересечения границ:** Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой: $$ -x^2 + 4x + 3 = x + 1 $$ $$ -x^2 + 3x + 2 = 0 \iff x^2 - 3x - 2 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $$ Приближенно: $x_1 \approx 3{,}56$, $x_2 \approx -0{,}56$. **Построение множества точек:** Множеством решений системы является внутренняя часть области, расположенная одновременно **ниже** параболы $y = -x^2 + 4x + 3$ и **выше** прямой $y = x + 1$ (криволинейная полоса между ними). Обе границы (парабола и прямая) вычерчиваются пунктирными линиями и не принадлежат искомому множеству.