ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-36. вариант - 4

### 1. Дано неравенство: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} \geq \sqrt{x + 6} $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x + 6 \geq 0 \iff x \geq -6 $$ 2. Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях неравенства: - $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}$ — показательная функция с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает на всей области определения. - $g(x) = \sqrt{x + 6}$ — функция, которая строго возрастает на промежутке $[-6; +\infty)$. Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня. Подбором находим корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = \sqrt{x + 6}$: при $x = -2$: $$ f(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 $$ $$ g(-2) = \sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 $$ Равенство выполняется, значит, $x = -2$ — единственный корень уравнения. 3. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) \geq g(x)$ выполняется для всех $x \leq -2$ из области определения. С учётом ОДЗ получаем: $$ -6 \leq x \leq -2 $$ 4. Найдём целые решения неравенства из отрезка $[-6; -2]$: это числа $-6, -5, -4, -3, -2$. Всего 5 целочисленных решений. Ответ: 5. --- ### 2. Дано неравенство: $$ \log_2^2 x - |\log_2 x| < 6 $$ 1. Область допустимых значений: $$ x > 0 $$ 2. Заметим, что $\log_2^2 x = |\log_2 x|^2$. Введём замену переменной: пусть $t = |\log_2 x|$, причём $t \geq 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - t - 6 < 0 $$ Корни квадратного трехчлена $t^2 - t - 6 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -2$, $t_2 = 3$. Решение неравенства: $$ -2 < t < 3 $$ С учётом условия $t \geq 0$ имеем: $$ 0 \leq t < 3 $$ 3. Возвращаемся к переменной $x$: $$ |\log_2 x| < 3 $$ Данное неравенство равносильно двойному неравенству: $$ -3 < \log_2 x < 3 $$ 4. Так как основание логарифма $2 > 1$, потенцируем неравенство с сохранением знаков: $$ 2^{-3} < x < 2^3 $$ $$ \frac{1}{8} < x < 8 $$ Полученный интервал полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\left(\frac{1}{8}; 8\right)$.