ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-36. вариант - 3

1. Найдем количество целочисленных решений неравенства: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} \geq \sqrt{x + 3} $$ 1) Область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3$, то есть $x \in [-3; +\infty)$. 2) Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях неравенства: - $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}$ — показательная функция с основанием $0 < \frac{1}{3} < 1$, следовательно, она строго убывает на всей области определения. - $g(x) = \sqrt{x+3}$ — иррациональная функция, строго возрастающая на промежутке $[-3; +\infty)$. 3) Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Подбором находим: при $x = -2$: $$ f(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2+2} = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 $$ $$ g(-2) = \sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1 $$ Значит, $x = -2$ — единственный корень уравнения $f(x) = g(x)$. 4) Поскольку $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, график функции $f(x)$ лежит не ниже графика $g(x)$ слева от точки их пересечения, то есть при $x \leq -2$. С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $$ x \in [-3; -2] $$ 5) Найдем целые числа, принадлежащие этому отрезку: Это числа $-3$ и $-2$. Всего 2 целочисленных решения. Ответ: 2. --- 2. Решим неравенство: $$ \log_3^2 x - |\log_3 x| < 2 $$ 1) Область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x > 0$. 2) Так как для любого действительного числа $a^2 = |a|^2$, перепишем неравенство в виде: $$ |\log_3 x|^2 - |\log_3 x| - 2 < 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = |\log_3 x|$, где $t \geq 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - t - 2 < 0 $$ 3) Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -1$, $t_2 = 2$. Решением неравенства $t^2 - t - 2 < 0$ является интервал: $$ -1 < t < 2 $$ Так как $t \geq 0$, получаем двойное неравенство $0 \leq t < 2$, что равносильно неравенству: $$ |\log_3 x| < 2 $$ 4) Раскрываем модуль: $$ -2 < \log_3 x < 2 $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_3 x$ монотонно возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ 3^{-2} < x < 3^2 $$ $$ \frac{1}{9} < x < 9 $$ Все значения из интервала $\left(\frac{1}{9}; 9\right)$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\left(\frac{1}{9}; 9\right)$.