ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-25. вариант - 1

### Задание 1 а) $y = 2e^x + \cos 3x$ Используем правило дифференцирования суммы $(u + v)' = u' + v'$, а также производную сложной функции: $(e^x)' = e^x$, $(\cos kx)' = -k\sin kx$. $$ y' = (2e^x)' + (\cos 3x)' = 2e^x - \sin 3x \cdot (3x)' = 2e^x - 3\sin 3x $$ Ответ: $y' = 2e^x - 3\sin 3x$. --- б) $y = e^{2x - 5} \cdot x^3$ Применим формулу производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ u = e^{2x - 5} \implies u' = e^{2x - 5} \cdot (2x - 5)' = 2e^{2x - 5} $$ $$ v = x^3 \implies v' = 3x^2 $$ Находим производную функции: $$ y' = 2e^{2x - 5} \cdot x^3 + e^{2x - 5} \cdot 3x^2 = x^2 e^{2x - 5}(2x + 3) $$ Ответ: $y' = x^2 e^{2x - 5}(2x + 3)$. --- в) $y = 3^{-2x}$ Применим правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = (3^{-2x})' = 3^{-2x} \cdot \ln 3 \cdot (-2x)' = -2 \ln 3 \cdot 3^{-2x} $$ Ответ: $y' = -2 \ln 3 \cdot 3^{-2x}$. --- ### Задание 2 Дана функция $y = 5x - 3 + e^{x^{-1}}$ и точка $x_0 = 1$. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) $$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$: $$ y(1) = 5 \cdot 1 - 3 + e^{1^{-1}} = 5 - 3 + e^1 = 2 + e $$ 2. Найдем производную функции, учитывая, что $(x^{-1})' = -\frac{1}{x^2}$: $$ y' = (5x - 3 + e^{x^{-1}})' = 5 - 0 + e^{x^{-1}} \cdot (x^{-1})' = 5 - \frac{e^{x^{-1}}}{x^2} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ y'(1) = 5 - \frac{e^{1^{-1}}}{1^2} = 5 - e $$ 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $$ y = (2 + e) + (5 - e)(x - 1) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ y = 2 + e + (5 - e)x - (5 - e) $$ $$ y = (5 - e)x + 2 + e - 5 + e $$ $$ y = (5 - e)x + 2e - 3 $$ Ответ: $y = (5 - e)x + 2e - 3$.