ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-25. вариант - 3

### 1. Нахождение производной функции **a)** $y = e^{-x} - \tg 2x$ Применяем правило дифференцирования разности и формулы производных сложных функций: $$ (e^u)' = e^u \cdot u', \quad (\tg u)' = \frac{u'}{\cos^2 u} $$ Находим производную: $$ y' = (e^{-x})' - (\tg 2x)' = e^{-x} \cdot (-x)' - \frac{(2x)'}{\cos^2 2x} = -e^{-x} - \frac{2}{\cos^2 2x} $$ Ответ: $y' = -e^{-x} - \dfrac{2}{\cos^2 2x}$. --- **b)** $y = \dfrac{3\sqrt[3]{x}}{e^{3x}}$ Перепишем числитель в виде степени с рациональным показателем: $3\sqrt[3]{x} = 3x^{\frac{1}{3}}$. Применим формулу производной частного $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ u' = \left(3x^{\frac{1}{3}}\right)' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $$ $$ v' = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x} $$ Подставляем полученные производные в формулу: $$ y' = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot e^{3x} - 3\sqrt[3]{x} \cdot 3e^{3x}}{(e^{3x})^2} $$ Разделим числитель и знаменатель дроби на $e^{3x}$: $$ y' = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - 9\sqrt[3]{x}}{e^{3x}} = \frac{1 - 9\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{e^{3x}\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1 - 9x}{e^{3x}\sqrt[3]{x^2}} $$ Ответ: $y' = \dfrac{1 - 9x}{e^{3x}\sqrt[3]{x^2}}$. --- **c)** $y = 0,5^{2-3x}$ Воспользуемся формулой производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = 0,5^{2-3x} \cdot \ln 0,5 \cdot (2 - 3x)' = 0,5^{2-3x} \cdot \ln 0,5 \cdot (-3) = -3 \ln 0,5 \cdot 0,5^{2-3x} $$ Так как $\ln 0,5 = \ln\left(2^{-1}\right) = -\ln 2$, выражение можно записать в виде: $$ y' = -3 \cdot (-\ln 2) \cdot 0,5^{2-3x} = 3 \ln 2 \cdot 0,5^{2-3x} $$ Ответ: $y' = 3 \ln 2 \cdot 0,5^{2-3x}$ (или $-3 \ln 0,5 \cdot 0,5^{2-3x}$). --- ### 2. Нахождение абсциссы точки касания Угловой коэффициент прямой $y = -3x + 4$ равен $k = -3$. По геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = y'(x_0)$. Так как касательная параллельна данной прямой, их угловые коэффициенты равны: $$ y'(x_0) = -3 $$ 1. Найдем производную функции $y = 5x - 4e^{2x}$: $$ y' = (5x)' - (4e^{2x})' = 5 - 4 \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = 5 - 4 \cdot 2e^{2x} = 5 - 8e^{2x} $$ 2. Приравняем производную к $-3$ и решим полученное уравнение относительно $x$: $$ 5 - 8e^{2x} = -3 $$ $$ -8e^{2x} = -8 $$ $$ e^{2x} = 1 $$ Так как $e^0 = 1$, получаем: $$ 2x = 0 \implies x = 0 $$ Абсцисса точки касания равна $0$. Ответ: $0$.