ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-25. вариант - 4

### 1. а) Найдем производную функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2} - e^{-x}$. Используем правила дифференцирования разности, а также производные сложных функций: $$ y' = \left( \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \right)' - \left( e^{-x} \right)' $$ Находим производную каждого слагаемого: $$ \left( \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \right)' = -\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)' = -\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sin^2 \frac{x}{2}} $$ $$ \left( e^{-x} \right)' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} $$ Объединяем результаты: $$ y' = -\frac{1}{2\sin^2 \frac{x}{2}} - (-e^{-x}) = -\frac{1}{2\sin^2 \frac{x}{2}} + e^{-x} $$ Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sin^2 \frac{x}{2}} + e^{-x}$. б) Найдем производную функции $y = \frac{e^{1-2x}}{\sqrt{x}}$. Применим формулу производной частного $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(e^{1-2x})' \cdot \sqrt{x} - e^{1-2x} \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} $$ Вычислим производные числителя и знаменателя: $$(e^{1-2x})' = e^{1-2x} \cdot (1 - 2x)' = -2e^{1-2x}$$ $$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ Подставим их в формулу: $$ y' = \frac{-2e^{1-2x} \cdot \sqrt{x} - e^{1-2x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} $$ Вынесем общий множитель $-e^{1-2x}$ за скобки в числителе и приведем к общему знаменателю: $$ y' = \frac{-e^{1-2x} \left( 2\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)}{x} = \frac{-e^{1-2x} \cdot \frac{4x + 1}{2\sqrt{x}}}{x} = -\frac{(4x + 1)e^{1-2x}}{2x\sqrt{x}} $$ Ответ: $y' = -\frac{(4x + 1)e^{1-2x}}{2x\sqrt{x}}$. в) Найдем производную функции $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2}$. Используем формулу производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2} \cdot \ln\left( \frac{1}{3} \right) \cdot (3x + 2)' $$ Так как $(3x + 2)' = 3$ и $\ln\left( \frac{1}{3} \right) = \ln(3^{-1}) = -\ln 3$, получаем: $$ y' = \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2} \cdot (-\ln 3) \cdot 3 = -3\ln 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2} $$ Используя свойство степеней $3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+1}$, выражение можно записать в виде: $$ y' = -\left( \frac{1}{3} \right)^{3x+1} \ln 3 $$ Ответ: $y' = -3\ln 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+2}$ (или $-\left( \frac{1}{3} \right)^{3x+1} \ln 3$). --- ### 2. Касательная к графику функции параллельна прямой $y = 5x - 1$, следовательно, их угловые коэффициенты равны: $k = 5$. Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке касания $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $y'(x_0) = k$. 1. Найдем производную заданной функции: $$ y' = (4e^{3x} - 7x)' = 4 \cdot e^{3x} \cdot (3x)' - 7 = 4 \cdot 3e^{3x} - 7 = 12e^{3x} - 7 $$ 2. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = 5$: $$ 12e^{3x_0} - 7 = 5 $$ $$ 12e^{3x_0} = 12 $$ $$ e^{3x_0} = 1 $$ Так как $e^0 = 1$, получаем: $$ 3x_0 = 0 \implies x_0 = 0 $$ Ответ: $0$.