ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-24. вариант - 4

### 1. Найдем значение выражения: $$ \frac{\log_{0,3} 8}{\log_{0,3} 10} + \frac{5}{\log_{0,5} 10} + \log_{\sqrt{10}} 200. $$ Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$, а также свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$: 1) $\dfrac{\log_{0,3} 8}{\log_{0,3} 10} = \log_{10} 8 = \lg 8$; 2) $\dfrac{5}{\log_{0,5} 10} = 5 \lg 0,5 = \lg (0,5^5) = \lg \left(\dfrac{1}{32}\right)$; 3) $\log_{\sqrt{10}} 200 = \log_{10^{\frac{1}{2}}} 200 = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \lg 200 = 2 \lg 200 = \lg (200^2) = \lg 40\,000$. Подставим полученные слагаемые в исходное выражение и применим свойство суммы логарифмов: $$ \lg 8 + \lg \left(\frac{1}{32}\right) + \lg 40\,000 = \lg \left(8 \cdot \frac{1}{32} \cdot 40\,000\right) = \lg \left(\frac{1}{4} \cdot 40\,000\right) = \lg 10\,000 = 4. $$ Ответ: $4$ --- ### 2. Дано: $\lg 3 = a$, $\lg 4 = b$. Найдем $\log_9 192$. Перейдем к десятичным логарифмам по формуле перехода: $$ \log_9 192 = \frac{\lg 192}{\lg 9}. $$ Разложим аргументы логарифмов на множители, содержащие $3$ и $4$: 1) $9 = 3^2$, следовательно: $$ \lg 9 = \lg (3^2) = 2 \lg 3 = 2a; $$ 2) $192 = 3 \cdot 64 = 3 \cdot 4^3$, следовательно: $$ \lg 192 = \lg (3 \cdot 4^3) = \lg 3 + \lg (4^3) = \lg 3 + 3 \lg 4 = a + 3b. $$ Подставим полученные значения: $$ \log_9 192 = \frac{a + 3b}{2a}. $$ Ответ: $\dfrac{a + 3b}{2a}$ --- ### 3. Решим уравнение: $$ \log_8 (27x - 1) + \log_{(27x - 1)} 8 = \frac{10}{3}. $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 27x - 1 > 0, \\ 27x - 1 \neq 1; \end{cases} \iff \begin{cases} x > \dfrac{1}{27}, \\ x \neq \dfrac{2}{27}. \end{cases} $$ Используя формулу $\log_{(27x - 1)} 8 = \dfrac{1}{\log_8 (27x - 1)}$, введем замену переменной $t = \log_8 (27x - 1)$ (где $t \neq 0$): $$ t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}. $$ Умножим обе части уравнения на $3t$: $$ 3t^2 - 10t + 3 = 0. $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2; $$ $$ t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3, \quad t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. $$ Вернемся к исходной переменной: 1) $\log_8 (27x - 1) = 3$ $$ 27x - 1 = 8^3 $$ $$ 27x - 1 = 512 $$ $$ 27x = 513 $$ $$ x = \frac{513}{27} = 19; $$ 2) $\log_8 (27x - 1) = \dfrac{1}{3}$ $$ 27x - 1 = 8^{\frac{1}{3}} $$ $$ 27x - 1 = 2 $$ $$ 27x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}. $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ: $19 > \dfrac{1}{27}$ и $\dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{27} > \dfrac{1}{27}$, при этом ни одно из них не равно $\dfrac{2}{27}$. Ответ: $\dfrac{1}{9}$; $19$