ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-24. вариант - 3

### 1. Найдем значение выражения: $$\frac{\lg 27}{\lg 5} + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 5} - \log_{\sqrt{5}} 3$$ Применим формулы перехода к новому основанию и свойства степени логарифма: 1) Перейдем в первом слагаемом к основанию $5$: $$\frac{\lg 27}{\lg 5} = \log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3\log_5 3$$ 2) Преобразуем второе слагаемое по формуле $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$: $$\frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 5} = \log_5 \left(\frac{1}{3}\right) = \log_5 (3^{-1}) = -\log_5 3$$ 3) Преобразуем третье слагаемое по формуле $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $$\log_{\sqrt{5}} 3 = \log_{5^{\frac{1}{2}}} 3 = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_5 3 = 2\log_5 3$$ 4) Подставим полученные результаты в исходное выражение: $$3\log_5 3 + (-\log_5 3) - 2\log_5 3 = (3 - 1 - 2)\log_5 3 = 0$$ Ответ: $0$. --- ### 2. Дано: $\lg 3 = a$, $\lg 5 = b$. Найдем $\log_{25} 375$. Перейдем к десятичным логарифмам по формуле перехода $\log_c d = \frac{\lg d}{\lg c}$: $$\log_{25} 375 = \frac{\lg 375}{\lg 25}$$ Разложим числа под знаком логарифма на множители: $375 = 3 \cdot 125 = 3 \cdot 5^3$, $25 = 5^2$. Применим свойства логарифма произведения и степени: $$\lg 375 = \lg (3 \cdot 5^3) = \lg 3 + \lg (5^3) = \lg 3 + 3\lg 5$$ $$\lg 25 = \lg (5^2) = 2\lg 5$$ Подставим известные значения $\lg 3 = a$ и $\lg 5 = b$: $$\log_{25} 375 = \frac{a + 3b}{2b}$$ Ответ: $\frac{a + 3b}{2b}$. --- ### 3. Решим уравнение: $$\log_4 (3x + 7) + \log_{(3x + 7)} 4 = 2,5$$ 1) Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 3x + 7 > 0 \\ 3x + 7 \ne 1 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x > -7 \\ 3x \ne -6 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -\frac{7}{3} \\ x \ne -2 \end{cases}$$ $$x \in \left(-\frac{7}{3}; -2\right) \cup (-2; +\infty)$$ 2) Преобразуем уравнение, используя свойство $\log_{(3x + 7)} 4 = \frac{1}{\log_4 (3x + 7)}$: $$\log_4 (3x + 7) + \frac{1}{\log_4 (3x + 7)} = 2,5$$ Пусть $t = \log_4 (3x + 7)$, где $t \ne 0$. Получаем уравнение: $$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$$ Умножим обе части уравнения на $2t$: $$2t^2 - 5t + 2 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$$ $$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ 3) Выполним обратную замену: Первый случай: $$\log_4 (3x + 7) = \frac{1}{2}$$ $$3x + 7 = 4^{\frac{1}{2}}$$ $$3x + 7 = 2$$ $$3x = -5$$ $$x_1 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \quad (\text{входит в ОДЗ, так как } -1\frac{2}{3} > -2\frac{1}{3} \text{ и } -1\frac{2}{3} \ne -2)$$ Второй случай: $$\log_4 (3x + 7) = 2$$ $$3x + 7 = 4^2$$ $$3x + 7 = 16$$ $$3x = 9$$ $$x_2 = 3 \quad (\text{входит в ОДЗ})$$ Ответ: $-\frac{5}{3}; \; 3$.