ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-25. вариант - 2

### 1. Найдите производную функции: **а)** $y = 3e^x - \sin 2x$ Используем правила дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования сложной функции: $(e^x)' = e^x$, $(\sin kx)' = k\cos kx$. $$ y' = (3e^x)' - (\sin 2x)' = 3e^x - \cos 2x \cdot (2x)' = 3e^x - 2\cos 2x $$ **Ответ:** $y' = 3e^x - 2\cos 2x$ --- **б)** $y = \sqrt{x} \cdot e^{2-x}$ Применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ y' = (\sqrt{x})' \cdot e^{2-x} + \sqrt{x} \cdot (e^{2-x})' $$ Найдем производные множителей: - $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ - $(e^{2-x})' = e^{2-x} \cdot (2 - x)' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x}$ Подставим полученные выражения: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{2-x} - \sqrt{x} \cdot e^{2-x} = e^{2-x}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\right) = \frac{(1 - 2x)e^{2-x}}{2\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{(1 - 2x)e^{2-x}}{2\sqrt{x}}$ --- **в)** $y = 2^{5x}$ Воспользуемся формулой дифференцирования показательной сложной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ y' = (2^{5x})' = 2^{5x} \cdot \ln 2 \cdot (5x)' = 5 \cdot 2^{5x} \ln 2 $$ **Ответ:** $y' = 5 \cdot 2^{5x} \ln 2$ --- ### 2. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = 2x + 5 - e^{x+3}$ в точке с абсциссой, равной $-3$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ По условию, $f(x) = 2x + 5 - e^{x+3}$ и $x_0 = -3$. 1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -3$: $$ f(-3) = 2 \cdot (-3) + 5 - e^{-3+3} = -6 + 5 - e^0 = -1 - 1 = -2 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2x + 5 - e^{x+3})' = 2 + 0 - e^{x+3} \cdot (x+3)' = 2 - e^{x+3} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$: $$ f'(-3) = 2 - e^{-3+3} = 2 - e^0 = 2 - 1 = 1 $$ 4. Подставим найденные значения в общее уравнение касательной: $$ y = -2 + 1 \cdot (x - (-3)) $$ $$ y = -2 + x + 3 $$ $$ y = x + 1 $$ **Ответ:** $y = x + 1$