ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-24. вариант - 2

1. Найдем значение выражения: $$ \frac{\log_7 125}{\log_7 3} - \frac{2}{\log_5 3} + \log_3 \frac{1}{45} $$ Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$ для первой дроби: $$ \frac{\log_7 125}{\log_7 3} = \log_3 125 $$ Для второй дроби применим свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ и внесем множитель в показатель степени: $$ \frac{2}{\log_5 3} = 2 \log_3 5 = \log_3 (5^2) = \log_3 25 $$ Подставим полученные выражения в исходный пример и воспользуемся свойствами суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: $$ \log_3 125 - \log_3 25 + \log_3 \frac{1}{45} = \log_3 \left( \frac{125}{25} \cdot \frac{1}{45} \right) = \log_3 \left( 5 \cdot \frac{1}{45} \right) = \log_3 \frac{1}{9} $$ Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, получаем: $$ \log_3 (3^{-2}) = -2 $$ Ответ: $-2$. --- 2. Выразим $\log_{0,5} 81$ через $a$, если $\log_3 2 = a$. Представим основание и подлогарифмическое выражение в виде степеней: $0,5 = 2^{-1}$ и $81 = 3^4$. Применяя формулу $\log_{b^k} (c^m) = \frac{m}{k} \log_b c$, получаем: $$ \log_{0,5} 81 = \log_{2^{-1}} (3^4) = \frac{4}{-1} \log_2 3 = -4 \log_2 3 $$ Используем свойство взаимно обратных логарифмов $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$: $$ \log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{1}{a} $$ Подставим это значение: $$ -4 \log_2 3 = -4 \cdot \frac{1}{a} = -\frac{4}{a} $$ Ответ: $-\frac{4}{a}$. --- 3. Решим уравнение: $$ \log_{\frac{1}{3}} x + 2 = 3 \log_x \frac{1}{3} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Используя свойство перехода к новому основанию $\log_x \frac{1}{3} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} x}$, перепишем уравнение: $$ \log_{\frac{1}{3}} x + 2 = \frac{3}{\log_{\frac{1}{3}} x} $$ Пусть $\log_{\frac{1}{3}} x = t$, причем $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$). Получаем уравнение: $$ t + 2 = \frac{3}{t} $$ Умножим обе части уравнения на $t \neq 0$: $$ t^2 + 2t = 3 $$ $$ t^2 + 2t - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = -3 $$ Вернемся к переменной $x$: 1) $\log_{\frac{1}{3}} x = 1 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$ 2) $\log_{\frac{1}{3}} x = -3 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$ Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{3}; \, 27$.