ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 41

**а)** Дана функция $y = \sin x + |\sin x|$. По определению абсолютной величины: $$ |\sin x| = \begin{cases} \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0, \\ -\sin x, & \text{если } \sin x < 0. \end{cases} $$ Раскроем модуль на промежутках знакопостоянства функции $\sin x$: 1. При $\sin x \ge 0$, то есть при $x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k], \, k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \sin x + \sin x = 2\sin x. $$ 2. При $\sin x < 0$, то есть при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \, k \in \mathbb{Z}$: $$ y = \sin x + (-\sin x) = 0. $$ Таким образом, аналитическая запись функции имеет вид: $$ y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k], \, k \in \mathbb{Z}, \\ 0, & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \, k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Свойства функции: - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Область значений: $E(y) = [0; 2]$. - Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Описание построения графика: - На отрезках $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$ строим график функции $y = 2\sin x$ (полуволны синусоиды, растянутые по оси ординат в $2$ раза с вершинами в точках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 2)$). - На отрезках $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$ график представляет собой отрезки прямой $y = 0$, лежащие на оси $Ox$. --- **б)** Дана функция $y = -\cos x |\cos x|$. По определению абсолютной величины: $$ |\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0, \\ -\cos x, & \text{если } \cos x < 0. \end{cases} $$ Раскроем модуль на промежутках знакопостоянства функции $\cos x$: 1. При $\cos x \ge 0$, то есть при $x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \, k \in \mathbb{Z}$: $$ y = -\cos x \cdot \cos x = -\cos^2 x. $$ 2. При $\cos x < 0$, то есть при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \, k \in \mathbb{Z}$: $$ y = -\cos x \cdot (-\cos x) = \cos^2 x. $$ Таким образом, аналитическая запись функции имеет вид: $$ y = \begin{cases} -\cos^2 x, & \text{если } x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \, k \in \mathbb{Z}, \\ \cos^2 x, & \text{если } x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \, k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Свойства функции: - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Четность: функция четная, так как $y(-x) = -\cos(-x)|\cos(-x)| = -\cos x|\cos x| = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$. - Периодичность: наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. - Область значений: $E(y) = [-1; 1]$. Описание построения графика: - Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. - На отрезках $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$ строится плавная линия $y = -\cos^2 x$, имеющая минимум $-1$ в точках $x = 2\pi k$. - На отрезках $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$ строится плавная линия $y = \cos^2 x$, имеющая максимум $1$ в точках $x = \pi + 2\pi k$.